O conjunto de funções f_{1}(x)=e^{x+2}, f_{2}(x)=e^{x-3} é linearmente dependente ou linearmente independente no intervalo (-\infty, \infty) ? Discuta.

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas em todo o eixo real:
f_{1}(x)=e^{x+2},\qquad f_{2}(x)=e^{x-3},
e pede para decidir se o conjunto \{f_{1},f_{2}\} é linearmente dependente ou linearmente independente no intervalo (- \infty,\infty).\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\; f_{1}\text{ e }f_{2}\text{ estão definidas para todo }x\in(-\infty,\infty).ã
\text{(ii)}\; \text{As funções são exponenciais do tipo }e^{x+\text{constante}}.çõã
Não se resolvem coisas ainda aqui, apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explicada com calma): um conjunto de funções \{g_{1},g_{2}\} é linearmente dependente em um intervalo quando existem escalares c_{1},c_{2}, não ambos nulos, tais que
c_{1}g_{1}(x)+c_{2}g_{2}(x)=0
para todo x naquele intervalo. Essa igualdade significa a igualdade de funções: o lado esquerdo deve dar zero para todo x. Se os únicos escalares que satisfazem isso são c_{1}=c_{2}=0, então as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Uma observação muito útil e simples para dois elementos: se uma função é um múltiplo constante da outra (isto é, existe \lambda\neq0 com g_{1}(x)=\lambda\,g_{2}(x) para todo x), então imediatamente elas são linearmente dependentes, porque
g_{1}(x)-\lambda\,g_{2}(x)=0
é uma combinação linear não trivial que dá a função zero. Esse é o teste mais rápido em provas quando aparecem exponenciais semelhantes.

Passo 4

Aplique essa ideia às nossas funções. Vou comparar f_{1} e f_{2}. Escrevo f_{1} de modo a evidenciar f_{2}:
f_{1}(x)=e^{x+2}=e^{(x-3)+5}=e^{5}\,e^{x-3}=e^{5}\,f_{2}(x).
Aqui usei apenas propriedades básicas da exponencial: e^{a+b}=e^{a}e^{b}. Note que e^{5} é uma constante positiva e diferente de zero.

Passo 5

Da igualdade do passo anterior segue diretamente uma combinação linear não trivial que anula as funções:
f_{1}(x)-e^{5}f_{2}(x)=0\quad\text{para todo }x\in(-\infty,\infty).
Os coeficientes dessa combinação são c_{1}=1 e c_{2}=-e^{5}, que não são ambos zero. Isso atende exatamente à definição de dependência linear dada no Passo 2.

Passo 6

Se quiser ver uma verificação alternativa (útil em prova): comece com a equação geral c_{1}e^{x+2}+c_{2}e^{x-3}=0 para todo x. Fatore e^{x-3} (que nunca é zero):
e^{x-3}\big(c_{1}e^{5}+c_{2}\big)=0.
Como e^{x-3}\neq0 para todo x, obrigatoriamente c_{1}e^{5}+c_{2}=0. Essa é uma relação entre c_{1} e c_{2} que admite soluções não triviais (por exemplo c_{1}=1, c_{2}=-e^{5}), confirmando a dependência linear. Esse método é prático: fatorar um termo comum quando as funções têm a mesma dependência em x.

Passo 7

Dica prática para a prova (resumindo o raciocínio que você deve usar rápido): ao ver funções e^{x+a} e e^{x+b}, calcule a razão
\frac{e^{x+a}}{e^{x+b}}=e^{a-b},
que é constante. Se a razão é constante (não zero), as funções são proporcionais e, portanto, linearmente dependentes. No nosso caso \dfrac{f_{1}(x)}{f_{2}(x)}=e^{5}, constante, então dependência.

Resposta

As funções são linearmente dependentes em (- \infty,\infty), pois f_{1}(x)=e^{5}\,f_{2}(x).

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