O conjunto de funções
é linearmente dependente ou linearmente independente no intervalo
? Discuta.
Passo 1
O enunciado dá duas funções definidas em todo o eixo real:
e pede para decidir se o conjunto
é linearmente dependente ou linearmente independente no intervalo
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não se resolvem coisas ainda aqui, apenas identifiquei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada com calma): um conjunto de funções
é linearmente dependente em um intervalo quando existem escalares
, não ambos nulos, tais que
para todo
naquele intervalo. Essa igualdade significa a igualdade de funções: o lado esquerdo deve dar zero para todo
. Se os únicos escalares que satisfazem isso são
, então as funções são linearmente independentes.
Passo 3
Uma observação muito útil e simples para dois elementos: se uma função é um múltiplo constante da outra (isto é, existe
com
para todo
), então imediatamente elas são linearmente dependentes, porque
é uma combinação linear não trivial que dá a função zero. Esse é o teste mais rápido em provas quando aparecem exponenciais semelhantes.
Passo 4
Aplique essa ideia às nossas funções. Vou comparar
e
. Escrevo
de modo a evidenciar
:
Aqui usei apenas propriedades básicas da exponencial:
. Note que
é uma constante positiva e diferente de zero.
Passo 5
Da igualdade do passo anterior segue diretamente uma combinação linear não trivial que anula as funções:
Os coeficientes dessa combinação são
e
, que não são ambos zero. Isso atende exatamente à definição de dependência linear dada no Passo 2.
Passo 6
Se quiser ver uma verificação alternativa (útil em prova): comece com a equação geral
para todo
. Fatore
(que nunca é zero):
Como
para todo
, obrigatoriamente
. Essa é uma relação entre
e
que admite soluções não triviais (por exemplo
,
), confirmando a dependência linear. Esse método é prático: fatorar um termo comum quando as funções têm a mesma dependência em
.
Passo 7
Dica prática para a prova (resumindo o raciocínio que você deve usar rápido): ao ver funções
e
, calcule a razão
que é constante. Se a razão é constante (não zero), as funções são proporcionais e, portanto, linearmente dependentes. No nosso caso
, constante, então dependência.
Resposta
As funções são linearmente dependentes em
, pois
.