Determine uma solução particular de y^{\prime \prime}+2 y=8 x+5.

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
y'' + 2y = 8x + 5.
Informações dadas:
\text{EQUAÇÃO: } y'' + 2y = 8x + 5.ÇÃ
Pergunta explícita: encontrar uma única função y_p(x) que satisfaça essa equação (ou seja, uma solução particular; não é necessário achar a solução geral).

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (undetermined coefficients) — passo a passo didático:
  • Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não homogêneo que é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples, é comum tentar uma solução particular y_p com a mesma “forma” do termo à direita. Esse é o método dos coeficientes a determinar.
  • Aqui o lado direito é um polinômio de grau 1: 8x+5. Então tentamos um polinômio de grau 1 como ansatz (chute inteligente) para y_p.
  • Precisamos verificar se há “ressonância”: se algum termo do ansatz for solução da equação homogênea. Se houver, multiplicamos o ansatz por potências de x. Vou checar isso depois; se não houver ressonância, podemos usar direto o polinômio de grau 1.

Passo 3

Verificação rápida da equação homogênea para checar ressonância:
  • A equação homogênea associada é
y''+2y=0.
  • A solução geral homogênea tem a forma
y_h = C_1\cos(\sqrt{2}x) + C_2\sin(\sqrt{2}x),
pois a equação característica é r^2+2=0 com raízes r=\pm i\sqrt{2}.
  • Como y_h é combinação de cosseno e seno (funções trigonométricas), nenhuma função polinomial faz parte da solução homogênea. Portanto não há ressonância com o polinômio do lado direito e podemos escolher o ansatz polinomial de grau 1 sem multiplicar por x.

Passo 4

Escolha do ansatz e significado das incógnitas:
  • Vamos tentar uma solução particular da forma
y_p(x)=A x + B,
onde A e B são constantes desconhecidas que vamos determinar. Aqui A é o coeficiente do termo em x e B é a constante do polinômio.

Passo 5

Calcular derivadas e substituir na equação:
  • Derivadas de y_p:
y_p'(x)=A,
y_p''(x)=0.
  • Substituindo em y''+2y=8x+5:
0 + 2(Ax+B) = 8x + 5.
  • Isso dá a identidade polinomial
2A x + 2B = 8x + 5.

Passo 6

Igualar coeficientes e resolver para A e B:
  • Igualando coeficientes do termo em x:
2A = 8 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{8}{2} = 4.
  • Igualando termos constantes:
2B = 5 \quad\Rightarrow\quad B = \frac{5}{2}.

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente:
  • Com A=4 e B=\tfrac{5}{2} temos
y_p(x)=4x+\frac{5}{2}.
  • Verificação rápida: y_p''=0 e 2y_p=2\big(4x+\tfrac{5}{2}\big)=8x+5, que coincide com o lado direito. Logo y_p é de fato uma solução particular.

Resposta

y_p(x)=4x+\frac{5}{2}

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