Determine uma solução particular de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma solução particular da equação diferencial
Informações dadas:
Pergunta explícita: encontrar uma única função
que satisfaça essa equação (ou seja, uma solução particular; não é necessário achar a solução geral).
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (undetermined coefficients) — passo a passo didático:
- Para equações lineares com coeficientes constantes e termo não homogêneo que é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou combinação simples, é comum tentar uma solução particular
com a mesma “forma” do termo à direita. Esse é o método dos coeficientes a determinar. - Aqui o lado direito é um polinômio de grau
: . Então tentamos um polinômio de grau como ansatz (chute inteligente) para . - Precisamos verificar se há “ressonância”: se algum termo do ansatz for solução da equação homogênea. Se houver, multiplicamos o ansatz por potências de
. Vou checar isso depois; se não houver ressonância, podemos usar direto o polinômio de grau .
Passo 3
Verificação rápida da equação homogênea para checar ressonância:
- A equação homogênea associada é
- A solução geral homogênea tem a forma
pois a equação característica é
com raízes
.
- Como
é combinação de cosseno e seno (funções trigonométricas), nenhuma função polinomial faz parte da solução homogênea. Portanto não há ressonância com o polinômio do lado direito e podemos escolher o ansatz polinomial de grau sem multiplicar por .
Passo 4
Escolha do ansatz e significado das incógnitas:
- Vamos tentar uma solução particular da forma
onde
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar. Aqui
é o coeficiente do termo em
e
é a constante do polinômio.
Passo 5
Calcular derivadas e substituir na equação:
- Derivadas de
:
- Substituindo em
:
- Isso dá a identidade polinomial
Passo 6
Igualar coeficientes e resolver para
e
:
- Igualando coeficientes do termo em
:
- Igualando termos constantes:
Passo 7
Escrever a solução particular encontrada e verificar rapidamente:
- Com
e temos
- Verificação rápida:
e , que coincide com o lado direito. Logo é de fato uma solução particular.