Determine a solução do problema de contorno definido pela EDP de Klein-Gordon:
Passo 1
O enunciado pede a solução de contorno da equação de Klein–Gordon
em
0<x<1 ,
t>0 , com condições de contorno mistas
e condições iniciais
O método é separação de variáveis
+ expansão em séries de Fourier baseada num problema de Sturm–Liouville.
Passo 2
Assumimos
u(x,t)=X(x),T(t) . Substituindo na EDP temos
e dividindo por
X,T chega-se a
Logo obtemos o problema em
x :
e o problema em
t :
Passo 3
Para
lambda>0 escrevemos
lambda=k^2 . A condição
X'(0)=0 dá
e
X(1)=0 exige
cos(k)=0 , daí
No tempo, cada modo satisfaz
cuja solução geral é
com
Passo 4
A solução completa é a série
Usando a ortogonalidade de
cos(kn x) em
[0,1] (norma
integral0^1cos^2(kn x),dx=1/2 ) e impondo
;u(x,0)=f(x) e
;ut(x,0)=g(x) , obtemos
Resposta
com