Determine a solução do problema de contorno definido pela EDP de Klein-Gordon:
ut t(x, t)=ux x(x, t)-u(x, t) & para 0<x<1, t>0 ux(0, t)=0 & para t>0 u(1, t)=0 & para t>0 u(x, 0)=f(x) & para 0<x<1 ut(x, 0)=g(x) & para 0<x<1

Passo 1

O enunciado pede a solução de contorno da equação de Klein–Gordon
utt=uxx-u
em 0<x<1, t>0, com condições de contorno mistas
ux(0,t)=0, u(1,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=g(x)
O método é separação de variáveis + expansão em séries de Fourier baseada num problema de Sturm–Liouville.

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na EDP temos
X(x),T''(t)=X''(x),T(t)-X(x),T(t)
e dividindo por X,T chega-se a
X''(x)X(x)-!1=T''(t)T(t)=-lambda
Logo obtemos o problema em x:
X''+lambda X=0, X'(0)=0,;X(1)=0,
e o problema em t:
T''+(lambda+1),T=0

Passo 3

Para lambda>0 escrevemos lambda=k^2. A condição X'(0)=0
X(x)=Acos(kx),
e X(1)=0 exige cos(k)=0, daí
kn=(2n-1)pi2, lambdan=kn^2, n=1,2,dots
No tempo, cada modo satisfaz
Tn''+(kn^2+1),Tn=0,
cuja solução geral é
Tn(t)=Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t),
com
omegan=raizkn^2+1

Passo 4

A solução completa é a série
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)cos(kn x)
Usando a ortogonalidade de cos(kn x) em [0,1] (norma integral0^1cos^2(kn x),dx=1/2) e impondo
;u(x,0)=f(x) e ;ut(x,0)=g(x), obtemos
An=2integral0^1f(s)cos(kn s),ds, Bn=2omeganintegral0^1g(s)cos(kn s),ds

Resposta

u(x,t) =sumn=1^inftyl(2!integral0^1f(s)cos(kn s),ds;cos(omegan t) +2omegan!integral0^1g(s)cos(kn s),ds;sin(omegan t)r)cos(kn x),
com
kn=(2n-1)pi2, omegan=raizkn^2+1

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