Identifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a)
Toda sequência monótona limitada é convergente.
(b)
Se
converge então
converge.
(c)
Se a função
é derivável em um ponto
, e
então
tem um extremo relativo em
.
(d)
Se
e
é limitado, então existe
tal que
.
(e)
Toda função integrável à Riemann em
possui primitiva em
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando teoremas de análise real, se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
(a) toda sequência monótona limitada é convergente;
(b) de convergente segue que
converge;
(c) se é derivável em
e
então
tem extremo relativo em
;
(d) se é limitado, então
;
(e) toda função Riemann-integrável em possui primitiva em
.
(a) toda sequência monótona limitada é convergente;
(b) de
(c) se
(d) se
(e) toda função Riemann-integrável em
Conteúdos usados: Teorema da convergência monótona, convergência absoluta de séries, contraposição de Fermat, completude dos reais vs. racionais, e Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
(a) Afirmativa sobre sequência monótona limitada é exatamente o Teorema da Convergência Monótona, que diz que toda sequência que é monótona (crescente ou decrescente) e limitada converge no espaço
. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Se
converge, então pela definição de convergência absoluta e o teste da comparação ou pela condição de Cauchy para séries temos que
também converge. Portanto, (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) A recíproca de Fermat é falsa:
é condição necessária mas não suficiente para extremo. Exemplo clássico é
em
, pois
dá
mas
não é nem mínimo nem máximo. Logo, (c) é falsa.
Passo 5
(d) Os racionais não são completos, então um conjunto limitado
pode ter supremo irracional. Por exemplo
é limitado e
. Assim, (d) é falsa.
Passo 6
(e) Nem toda função Riemann-integrável admite primitiva. Um contraexemplo é a função de Thomae em
que é Riemann-integrável, mas qualquer candidata a primitiva seria constante onde . Logo, (e) é falsa.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa.
(d) Falsa.
(e) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa.
(d) Falsa.
(e) Falsa.