Identifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta:
(a) (0,3) Toda sequência monótona limitada é convergente.
(b) (0,3) Se sumn=1^+infty|xn| converge então sumn=1^+infty xn converge.
(c) (0,3) Se a função f:[a, b] R é derivável em um ponto c in(a, b), e f^prime(c)=0 então f tem um extremo relativo em c.
(d) (0,3) Se X subset Q e X é limitado, então existe b in Q tal que b=sup X.
(e) (0,3) Toda função integrável à Riemann em [a, b] possui primitiva em [a, b].

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando teoremas de análise real, se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando:
(a) toda sequência monótona limitada é convergente;
(b) de sum|xn| convergente segue que sum xn converge;
(c) se f é derivável em c e f'(c)=0 então f tem extremo relativo em c;
(d) se XsubsetQ é limitado, então sup XinQ;
(e) toda função Riemann-integrável em [a,b] possui primitiva em [a,b].
Conteúdos usados: Teorema da convergência monótona, convergência absoluta de séries, contraposição de Fermat, completude dos reais vs. racionais, e Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

(a) Afirmativa sobre sequência monótona limitada é exatamente o Teorema da Convergência Monótona, que diz que toda sequência que é monótona (crescente ou decrescente) e limitada converge no espaço R. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Se sumn=1^infty|xn| converge, então pela definição de convergência absoluta e o teste da comparação ou pela condição de Cauchy para séries temos que sumn=1^inftyxn também converge. Portanto, (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) A recíproca de Fermat é falsa: f'(c)=0 é condição necessária mas não suficiente para extremo. Exemplo clássico é f(x)=x^3 em c=0, pois f'(x)=3x^2 f'(0)=0 mas x=0 não é nem mínimo nem máximo. Logo, (c) é falsa.

Passo 5

(d) Os racionais não são completos, então um conjunto limitado XsubsetQ pode ter supremo irracional. Por exemplo
X=qinQ:q>0,;q^2<2
é limitado e sup X=raiz2notinQ. Assim, (d) é falsa.

Passo 6

(e) Nem toda função Riemann-integrável admite primitiva. Um contraexemplo é a função de Thomae em
que é Riemann-integrável, mas qualquer candidata a primitiva seria constante onde . Logo, (e) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Falsa.
(d) Falsa.
(e) Falsa.

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