Determine a solução do problema.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
e as condições iniciais
e
. Para resolver, vamos usar a equação característica associada a esse tipo de ODE.
Passo 2
Escrevemos a equação característica trocando
por
, ou seja,
Colocando em evidência, fica
logo as raízes são
Passo 3
Como as raízes são distintas, a solução geral da ODE é
Passo 4
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Da expressão de , em
:
Da expressão de
Derivando
:
e em
:
Substituindo em
:
Resposta
A solução que satisfaz as condições iniciais é