Determine a solução do problema.
d^2 yd x^2+2 d yd x=0, y(0)=1 y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
d^2ydx^2 + 2,dydx = 0
e as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2. Para resolver, vamos usar a equação característica associada a esse tipo de ODE.

Passo 2

Escrevemos a equação característica trocando ddx por r, ou seja,
r^2 + 2r = 0
Colocando em evidência, fica
r,(r + 2) = 0,
logo as raízes são
r1 = 0, r2 = -2

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral da ODE é
y(x) = C1e^r1x + C2e^r2x = C1 + C2e^-2x

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C1 e C2.
Da expressão de y(x), em x=0:
y(0) = C1 + C2 = 1
Derivando y(x):
y'(x) = 0 + C2(-2)e^-2x = -2C2e^-2x,
e em x=0:
y'(0) = -2C2 = 2 Longrightarrow C2 = -1
Substituindo em C1 + C2 = 1:
C1 - 1 = 1 Longrightarrow C1 = 2

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = 2 - e^-2x

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