Questão 1
Resolver a equação diferencial seguinte para x in R :
(sen x-sen y) y^prime=-y cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(sin x-sin y),y'=-ycos x,
onde xinR. Esse tipo de equação pode ser reconhecido como uma forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
e vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial que gera a solução.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma
ycos x,dx+(sin x-sin y),dy=0,
ou seja
M(x,y)=ycos x, N(x,y)=sin x-sin y
Para verificar exatidão, calculamos
partial Mpartial y =cos x, partial Npartial x =cos x
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão existe phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M(x,y)=ycos x
Integrando em relação a x, tratando y como constante, obtemos
phi(x,y)=integral ycos x,dx =ysin x+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar g(y) usamos
partial phipartial y =sin x+g'(y)
e igualamos a N(x,y), ou seja
sin x+g'(y)=sin x-sin y ;;Longrightarrow;; g'(y)=-sin y
Integramos em y:
g(y)=integral -sin y,dy=cos y+constante

Passo 5

Substituindo g(y) em phi obtemos a solução implícita
phi(x,y)=ysin x+cos y=C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por
ysin x+cos y=C,
com CinR.

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