Determine a solução do problema
ddotx+6 dotx+9 x=e^-3 t, x(0)=0 e dotx(0)=1.

Passo 1

O problema é a EDO de segunda ordem não homogênea ddotx+6dotx+9x=e^-3t com condições iniciais x(0)=0 e dotx(0)=1. Vamos usar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada ddotx+6dotx+9x=0. A equação característica é r^2+6r+9=(r+3)^2=0, raiz dupla r=-3. Logo, a solução homogênea é xh=C1e^-3t+C2te^-3t.

Passo 3

Em seguida, buscamos uma solução particular. Como o termo não homogêneo é e^-3t e r=-3 é raiz dupla, multiplicamos o palpite usual por t^2. Assim, tentamos xp=A t^2e^-3t.
Calculamos xp''+6xp'+9xp. Derivando, obtemos
xp''+6xp'+9xp=2A e^-3t
Igualando a e^-3t do lado direito, temos 2A=1 e portanto A=tfrac12. Logo xp=tfrac12t^2e^-3t.

Passo 4

A solução geral é x=xh+xp=C1e^-3t+C2te^-3t+tfrac12t^2e^-3t. Aplicando x(0)=0 C1=0. Derivando e impondo dotx(0)=1 leva a C2=1. Portanto a solução satisfaz as condições iniciais.

Resposta

x(t)=l(t+tfract^22r)e^-3t

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