Determine a solução do problema
e
.
Passo 1
O problema é a EDO de segunda ordem não homogênea
com condições iniciais
e
. Vamos usar equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a parte homogênea associada
. A equação característica é
, raiz dupla
. Logo, a solução homogênea é
.
Passo 3
Em seguida, buscamos uma solução particular. Como o termo não homogêneo é
e
é raiz dupla, multiplicamos o palpite usual por
. Assim, tentamos
.
Calculamos . Derivando, obtemos
Calculamos
Igualando a
do lado direito, temos
e portanto
. Logo
.
Passo 4
A solução geral é
. Aplicando
dá
. Derivando e impondo
leva a
. Portanto a solução satisfaz as condições iniciais.