Determine o quinto termo do desenvolvimento de
(2 x-1x^2)^7
Supondo o desenvolvimento ordenado segundo as potencias crescentes da primeira parcela;

Passo 1

Estamos expandindo (2x - 1x^2)^7 e queremos o quinto termo quando listamos os termos em ordem de potências crescentes de 2x. O conteúdo é o Teorema Binomial e vamos precisar da expressão do termo geral.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, o termo geral de (a+b)^n é dado por Tk+1=binomnka^n-kb^k. No nosso caso, a=2x, b=-1x^2 e n=7. Então temos:
Tk+1 = binom7k(2x)^7-k(-1x^2)^k

Passo 3

Em cada termo Tk+1, a potência de 2x é 7-k. Como queremos a lista em potências crescentes de 2x, o termo de ordem r nessa lista satisfaz 7-k=r-1.

Passo 4

Para encontrar o quinto termo, basta tomar r=5. Da relação 7-k=5-1=4 vem k=3.

Passo 5

Substituindo k=3 em Tk+1 e simplificando:
T4 = binom73(2x)^4(-1x^2)^3 =35cdot16,x^4cdot(-1),x^-6 =-560,x^-2

Resposta

-560x^-2

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