Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=cos t y ; y(1)=1
Escolha uma opção:
y(t)=12 e^-t+cos t-sen t2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI dydt=cos t,y, com condição inicial y(1)=1. Vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo 1y,dy=cos t,dt. Isso nos permite integrar cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Integre os dois lados:
integral 1y,dy = integral cos t,dt
O lado esquerdo dá ln|y|, e o direito dá sin t + C. Então
ln|y| = sin t + C

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral
y(t) = A,e^sin t, A= e^C

Passo 5

Use agora a condição inicial y(1)=1:
1 = A,e^sin 1 implies A = e^-sin 1

Passo 6

Substituindo A na solução geral, ficamos com
y(t) = e^-sin 1,e^sin t = e^sin t - sin 1

Resposta

y(t)=e^{\sin t - \sin 1}

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