Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=cos t y ; y(1)=1
Escolha uma opção:
y(t)=e^sen t-sen(1)

Passo 1

Temos o Problema de Valor Inicial
que é uma equação diferencial de 1ª ordem e do tipo separável. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os y de um lado e todos os t do outro:
1y,dy = cos t,dt
Isso é possível porque a equação é separável.

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral 1y,dy = integral cos t,dt
Na prática, isso dá
ln|y| = sin t + C

Passo 4

Exponenciamos para encontrar y:
y = e^ln|y| = e^sin t + C = Ce^sin t,
onde renomeamos e^C como constante C.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1 = Ce^sin(1) Rightarrow C = e^-sin(1)

Passo 6

Substituindo C na solução geral, obtemos
y(t) = e^-sin(1),e^sin t = e^sin t - sin(1)

Resposta

y(t)=e^sin t - sin(1)

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