Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Escolha uma opção:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis ou uma substituição que simplifique a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
O que queremos fazer é separar as variáveis
e
para integrarmos ambos os lados. Para isso, vamos rearranjar os termos.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Agora, vamos distribuir o
:
Passo 4
Reorganizando os termos para isolar
:
Isso pode ser reescrito como:
Mas isso não simplifica muito. Então, vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 5
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Definimos:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Queremos expressar
em termos de
e
:
Passo 6
Substituímos
na equação original:
Agora, usando a expressão para
que encontramos na Passo 5:
Passo 7
Resolvendo para
:
Multiplicando ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 8
Agora, temos:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante ou outra técnica apropriada. Vamos reorganizar:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa forma ainda é complicada, então vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 9
Vamos retornar à substituição
e expressar a equação original em termos de
:
Usando a expressão
:
Rearranjando:
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, temos uma equação separável:
Dividimos ambos os lados por
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Lembrando que
, isso pode ser complexo, então vamos optar por outra substituição.
Passo 11
Considerando a dificuldade nas etapas anteriores, vamos tentar resolver a equação original de forma diferente. Vamos rearranjar a equação diferencial:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agora, reorganizando os termos:
Factorando:
Ainda é complicado, então vamos tentar uma abordagem diferente usando fator integrante.
Passo 12
Após várias tentativas, percebemos que a equação pode ser resolvida através de uma substituição que torne a equação exata. Vamos definir:
Então,
Substituindo na equação original:
Então,
Passo 13
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Então,
Dividindo ambos os lados por
:
Essa equação ainda é complexa, sugerindo que talvez precisemos reconsiderar nossa abordagem inicial.
Passo 14
Vamos tentar uma substituição diferente. Define-se:
Então,
Derivando ambos os lados em relação a
:
Substituindo na equação original:
Passo 15
Agora, temos a equação:
Vamos rearranjar para isolar
:
Então,
Passo 16
Vamos separar as variáveis:
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Passo 17
Vamos separar a fração no lado esquerdo:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 18
Substituindo
de volta:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
Após simplificar e aplicar a condição inicial, a solução do problema é: