Determine a solução do Problema de Valor Inicial d yd t=y(t^2-1) ; y(0)=1
Escolha uma opção:
y(t)=e^t^33+t
y(t)=(1+t) e^t
y(t)=e^e^t
Nenhuma das demais alternativas
y(t)=(t^2+2 t+1) e^t
y(t)=e^t3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é resolver a equação diferencial dydt = y(t^2 - 1) com a condição inicial y(0) = 1. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente das Equações Diferenciais de Primeiro Grau. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o método de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Temos dydt = y(t^2 - 1). Isso significa que a taxa de variação de y em relação a t depende de y e de t de uma maneira específica.

Passo 3

Vamos tentar separar as variáveis y e t. Para fazer isso, dividimos ambos os lados da equação por y e multiplicamos por dt, ficando assim:
1y , dy = (t^2 - 1) , dt

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar y. A integral de 1y , dy é ln|y|, e a integral de (t^2 - 1) , dt é t^33 - t. Então temos:
ln|y| = t^33 - t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo exponenciando os dois lados da equação:
y = e^t^33 - t + C = e^C cdot e^t^33 - t
Podemos simplificar e^C para uma nova constante K:
y = K cdot e^t^33 - t

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de K:
1 = K cdot e^0^33 - 0 Rightarrow 1 = K cdot e^0 Rightarrow K = 1

Passo 7

Substituindo K = 1 na expressão de y, temos a solução da equação diferencial:
y(t) = e^t^33 - t

Resposta

Nenhuma das demais alternativas.

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