Verifique que:
, para todos
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo raízes de índice 5, que faz parte da fatoração de diferenças de potências de quinto grau. Vamos usar a fórmula geral de fatoração de diferença de n-ésimas potências.
Passo 2
Lembrando que, para quaisquer números
,
e inteiro
, temos a fatoração:
Vamos aplicá-la com
.
Passo 3
Definimos
Como raízes de índice ímpar, estão bem definidas para todo
, e valem
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
obtemos
Substituindo
e
e reescrevendo em termos de raízes, concluímos
Resposta
A igualdade está verificada pela fatoração da diferença de potências de quinto grau.