Verifique que:
x-a=(raiz[5]x-raiz[5]a)(raiz[5]x^4+raiz[5]x^3 a+raiz[5]x^2 a^2+raiz[5]x a^3+raiz[5]a^4), para todos a, x in R.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo raízes de índice 5, que faz parte da fatoração de diferenças de potências de quinto grau. Vamos usar a fórmula geral de fatoração de diferença de n-ésimas potências.

Passo 2

Lembrando que, para quaisquer números u, v e inteiro n, temos a fatoração:
u^n - v^n = (u - v)(u^n-1 + u^n-2v + dots + uv^n-2 + v^n-1)
Vamos aplicá-la com n=5.

Passo 3

Definimos
u = raiz[5]x, v = raiz[5]a
Como raízes de índice ímpar, estão bem definidas para todo x,ainR, e valem u^5 = x e v^5 = a.

Passo 4

Aplicando a fórmula para n=5 obtemos
u^5 - v^5 = (u - v)igl(u^4 + u^3v + u^2v^2 + uv^3 + v^4igr) 
Substituindo u^5=x e v^5=a e reescrevendo em termos de raízes, concluímos
x - a = (raiz[5]x - raiz[5]a)(raiz[5]x^4 + raiz[5]x^3a + raiz[5]x^2a^2 + raiz[5]xa^3 + raiz[5]a^4)

Resposta

A igualdade está verificada pela fatoração da diferença de potências de quinto grau.

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