Determine a solução do Problema de Valor Inicial
\left\{\begin{array}{l} 3 y^{\prime \prime}(t)-2 y^{\prime}(t)+y(t)=0 \\\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=\sqrt{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial dado por
\left\{\begin{array}{l} 3\,y^{\prime\prime}(t)-2\,y^{\prime}(t)+y(t)=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=\sqrt{2}. \end{array}\right.
Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação diferencial: }3\,y^{\prime\prime}(t)-2\,y^{\prime}(t)+y(t)=0,\\\ &\text{Condições iniciais: }y(0)=0\quad\text{e}\quad y^{\prime}(0)=\sqrt{2}. \end{aligned}çãçõ
O que precisamos: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]

Passo 2

Método escolhido e razão (explicação didática):
Para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes como
3\,y^{\prime\prime}-2\,y^{\prime}+y=0,
é padrão tentar uma solução da forma \,y(t)=e^{r t}\,. Isso funciona porque derivadas de exponenciais geram fatores constantes que transformam a EDO num polinômio em r. Substituindo y=e^{r t} na equação obtemos a chamada equação característica (um polinômio em r), cuja solução nos dá os expoentes r possíveis. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Formação e solução da equação característica:
Substituindo y=e^{r t} temos y' = r e^{r t} e y'' = r^{2} e^{r t}. Colocando na EDO:
3(r^{2} e^{r t}) - 2(r e^{r t}) + (e^{r t}) = 0.
Dividindo por e^{r t} (não é zero) obtemos a equação característica:
3 r^{2} - 2 r + 1 = 0.
Agora resolvemos esse quadrático. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2} - 4\cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos:
r = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2\cdot 3} = \frac{2 \pm 2i\sqrt{2}}{6} = \frac{1}{3} \pm i\,\frac{\sqrt{2}}{3}.
Definimos
a=\frac{1}{3},\qquad b=\frac{\sqrt{2}}{3},
logo as raízes são r=a\pm i b.

Passo 4

Como obter a solução real a partir de raízes complexas (aula rápida):
Quando a equação característica tem raízes complexas a\pm i b, a solução geral real da EDO é
y(t)=e^{a t}\big(C_{1}\cos(b t)+C_{2}\sin(b t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais. Intuição curta: as soluções e^{(a+ib)t} e e^{(a-ib)t} podem ser combinadas por meio das fórmulas de Euler e^{i b t}=\cos(bt)+i\sin(bt) para obter partes real e imaginária que são soluções reais independentes — daí o formato acima.

Passo 5

Escrevendo a solução geral com os valores de a e b:
Usando a=\tfrac{1}{3} e b=\tfrac{\sqrt{2}}{3}, a solução geral é
y(t)=e^{\tfrac{1}{3}t}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}t\big)\Big).

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0)=0:
Calcule y(0). Como e^{0}=1, \cos(0)=1 e \sin(0)=0, temos
y(0)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Pela condição y(0)=0 segue que
C_{1}=0.
Portanto a solução reduz para
y(t)=e^{\tfrac{1}{3}t}\,C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}t\big).

Passo 7

Aplicando a condição inicial y^{\prime}(0)=\sqrt{2} e encontrando C_{2}:
Primeiro derivamos y(t). Usamos a regra do produto: se y(t)=e^{a t}\,C_{2}\sin(bt) com a=\tfrac{1}{3} e b=\tfrac{\sqrt{2}}{3}, então
\begin{aligned} y'(t) &= \frac{d}{dt}\big(e^{a t}\big)\cdot C_{2}\sin(bt) + e^{a t}\cdot C_{2}\frac{d}{dt}\big(\sin(bt)\big)\\[4pt] &= a e^{a t} C_{2}\sin(bt) + e^{a t} C_{2}\,b\cos(bt)\\[4pt] &= e^{a t}\,C_{2}\big(a\sin(bt)+ b\cos(bt)\big). \end{aligned}
Agora avaliamos em t=0. Como e^{0}=1, \sin(0)=0, \cos(0)=1, obtemos
y'(0)=C_{2}\big(a\cdot 0 + b\cdot 1\big)=C_{2}b.
A condição dada é y'(0)=\sqrt{2}, logo
C_{2}b=\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=\frac{\sqrt{2}}{b}.
Lembrando b=\tfrac{\sqrt{2}}{3}, fazemos a divisão:
C_{2}=\frac{\sqrt{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{3}}=3.
Double-check rápido: b C_{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{3}\cdot 3=\sqrt{2}, tudo certo.]

Passo 8

Solução final particular e verificação:
Substituindo C_{1}=0 e C_{2}=3 na solução reduzida, obtemos
y(t)=3\,e^{\tfrac{1}{3}t}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}t\big).
Verificações rápidas: y(0)=3\cdot 1\cdot 0=0 e y'(0)=b C_{2}=\sqrt{2}, então satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(t)=3\,e^{\tfrac{1}{3}t}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{3}t\big)

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