Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução do problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
O que precisamos: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.]
Passo 2
Método escolhido e razão (explicação didática):
Para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes como
Para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes como
é padrão tentar uma solução da forma
. Isso funciona porque derivadas de exponenciais geram fatores constantes que transformam a EDO num polinômio em
. Substituindo
na equação obtemos a chamada equação característica (um polinômio em
), cuja solução nos dá os expoentes
possíveis. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Formação e solução da equação característica:
Substituindo temos
e
. Colocando na EDO:
Substituindo
Dividindo por
(não é zero) obtemos a equação característica:
Agora resolvemos esse quadrático. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculamos:
Definimos
logo as raízes são
.
Passo 4
Como obter a solução real a partir de raízes complexas (aula rápida):
Quando a equação característica tem raízes complexas , a solução geral real da EDO é
Quando a equação característica tem raízes complexas
onde
e
são constantes reais. Intuição curta: as soluções
e
podem ser combinadas por meio das fórmulas de Euler
para obter partes real e imaginária que são soluções reais independentes — daí o formato acima.
Passo 5
Escrevendo a solução geral com os valores de
e
:
Usando e
, a solução geral é
Usando
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
Calcule . Como
,
e
, temos
Calcule
Pela condição
segue que
Portanto a solução reduz para
Passo 7
Aplicando a condição inicial
e encontrando
:
Primeiro derivamos . Usamos a regra do produto: se
com
e
, então
Primeiro derivamos
Agora avaliamos em
. Como
,
,
, obtemos
A condição dada é
, logo
Lembrando
, fazemos a divisão:
Double-check rápido:
, tudo certo.]
Passo 8
Solução final particular e verificação:
Substituindo e
na solução reduzida, obtemos
Substituindo
Verificações rápidas:
e
, então satisfaz as condições iniciais.