Prove que a série
é divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série cuja
-ésima parcela é
e pede para provar que a série
é divergente.
Informações relevantes que temos:
- A expressão explícita de
está acima. - Para que uma série convergente, é necessário (condição necessária) que
quando . Se mostrarmos que (por exemplo ou tende a um número não nulo), a série diverge imediatamente. - Podemos usar aproximações assintóticas conhecidas para
(fórmula de Stirling) para estudar o comportamento de quando é grande.
Passo 2
Lembrete útil (teste da parcela): se
, então
diverge. Portanto o plano é investigar o limite de
quando
. Se mostrarmos que
cresce (ou não tende a zero), concluímos divergência.
Passo 3
Vou usar a fórmula de Stirling. Vou primeiro explicar o que ela diz e por que é relevante.
Fórmula de Stirling (forma usual): para
,
o que significa que
Interpretação:
é aproximadamente
para
grande; a razão entre os dois tende a
. Essa aproximação vem de aproximar
por uma integral e refinar com correções (ou usando a representação integral da função Gamma e método de Laplace). Para nosso objetivo não precisamos provar Stirling aqui, apenas usar o resultado e entender que ele fornece a ordem principal de crescimento de
.
Passo 4
Aplicando Stirling em
. Substituímos a aproximação de
em
:
Agora simplificamos a expressão do lado direito passo a passo:
Primeiro, escrevemos o fator
como
Substituindo isso na expressão assintótica, obtemos
Portanto, usando Stirling, concluímos que
ou seja,
Passo 5
Da conclusão do passo anterior segue que
quando
, porque
. Em particular
.
Pelo teste da parcela (condição necessária para convergência), se as parcelas
não tendem a
então a série
diverge. Logo, a série dada diverge.
Passo 6
Comentário pedagógico e verificação: é comum tentar o teste da razão ou o teste da raiz aqui. Para registro rápido, a razão é
e a raiz
-ésima dá também limite
. Ambos os testes são inconclusivos. Por isso a aproximação mais refinada (Stirling) foi a ferramenta que resolveu o problema de forma direta, mostrando que as parcelas nem sequer tendem a zero.
Resposta
A série é divergente.