Determine a solução geral da EDO 9 y^{\prime \prime}(t)-6 y^{\prime}(t)+y(t)=\frac{t^{2}}{3}-10.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária
9\,y''(t)-6\,y'(t)+y(t)=\frac{t^{2}}{3}-10.
O que é pedido: determinar a solução geral y(t) da EDO (sem condições iniciais).
Informações relevantes do enunciado:
  • Coeficientes constantes na EDO: 9, -6, 1.
  • Termo não-homogêneo (forçamento) é o polinômio \dfrac{t^{2}}{3}-10.
  • Não há condições iniciais; portanto vamos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro resolvemos a EDO homogênea associada:
9\,y''-6\,y'+y=0.
Explicação do método: para EDOs lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo y=e^{rt} temos y'=r e^{rt} e y''=r^{2}e^{rt}. Fatorando e^{rt} (não nulo) obtemos a equação característica
9r^{2}-6r+1=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calculamos o discriminante:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot 9\cdot 1 = 36-36=0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{6}{2\cdot 9}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.
Quando a raiz r=\dfrac{1}{3} tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são e^{t/3} e t e^{t/3}. Logo a solução complementar (homogênea) é
y_{c}(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{t/3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora determinamos uma solução particular y_{p}(t) da EDO completa. Método escolhido: coeficientes indeterminados. Justificativa didática: o termo à direita é um polinômio de grau 2, então tentamos um polinômio de grau 2 como palpite para y_{p}. Devemos verificar se alguma parte desse palpite coincide com a solução homogênea; aqui as soluções homogêneas são exponenciais e^{t/3} e t e^{t/3}, que não são polinômios, portanto não há necessidade de multiplicar o palpite por t.
Tomamos
y_{p}(t)=a t^{2}+b t+c,
com a,b,c indeterminados. Calculamos as derivadas:
y_{p}'(t)=2a t + b,
y_{p}''(t)=2a.
Substituímos na equação diferencial original:
9(2a)-6(2a t + b)+(a t^{2}+b t+c)=\frac{t^{2}}{3}-10.
Agora fazemos as contas passo a passo. Primeiro expandimos o lado esquerdo:
9(2a)=18a,
-6(2a t + b)=-12a t -6b.
Somando tudo:
18a -12a t -6b + a t^{2} + b t + c.
Agrupamos por potências de t:
  • Coeficiente de t^{2}: a.
  • Coeficiente de t: -12a + b.
  • Termo constante: 18a -6b + c.
Esses devem ser iguais aos coeficientes do lado direito \dfrac{t^{2}}{3}-10, ou seja:
  • coeficiente de t^{2} é \dfrac{1}{3},
  • coeficiente de t é 0,
  • termo constante é -10.
Formamos o sistema para a,b,c:
\begin{cases} a = \dfrac{1}{3},\\[4pt] -12a + b = 0,\\[4pt] 18a -6b + c = -10. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação já temos
a=\frac{1}{3}.
Da segunda:
b=12a = 12\cdot \frac{1}{3}=4.
Da terceira usamos a e b:
18a -6b + c = -10.
Calculamos 18a=18\cdot\frac{1}{3}=6 e -6b=-6\cdot 4=-24. Então
6 -24 + c = -10 \quad\Rightarrow\quad -18 + c = -10 \quad\Rightarrow\quad c=8.
Portanto
y_{p}(t)=\frac{1}{3}t^{2}+4t+8.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da solução complementar com a particular:
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{t/3}+\frac{1}{3}t^{2}+4t+8,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

\displaystyle y(t)=\big(C_{1}+C_{2}t\big)e^{t/3}+\frac{1}{3}t^{2}+4t+8

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