Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial de valor inicial e pede a função
que a satisfaz:
Informações relevantes fornecidas:
a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes;
as condições iniciais são dadas no ponto
;
precisamos determinar a solução
completa que satisfaz tanto a equação quanto as condições iniciais.]
Passo 2
Método escolhido: buscar soluções da forma
(método do polinômio característico). Explicação didática: se colocamos
, então
e
. Substituindo na equação diferencial homogênea, o fator
não é zero, então sobra uma equação para
(o polinômio característico). Isto funciona porque exponenciais têm a propriedade de que sua derivada é proporcional a elas mesmas, o que transforma a EDO num polinômio em
.
Substituindo
em
obtemos o polinômio característico
Passo 3
Resolver o polinômio característico. Vamos fatorar:
Logo as raízes são
e
, duas raízes reais distintas. Teoria importante: quando as raízes do polinômio característico são reais e distintas, a solução geral da EDO homogênea é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Assim a solução geral aqui é
Passo 4
Calcular a derivada
para poder usar a condição inicial em
. Derivando termo a termo (regra:
),
Aqui
e
são constantes desconhecidas que vamos determinar com as condições
e
.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais em
Vou escrever
e
como
para simplificar a notação nas contas.]
Passo 6
Resolver o sistema linear por eliminação. Subtraindo a primeira equação da segunda:
o que dá
Portanto
Substituindo
na primeira equação
:
Observe que
. Então
Passo 7
Substituir
e
na solução geral. Temos
Podemos reescrever de forma mais compacta usando deslocamento em
:
Verificação rápida (útil na prova): em
obtemos
e
confirmando as condições iniciais.