Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=t^2+y, y(0)=0 :
Escolha uma opção:
y(t)=ln (t^22+1)

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial de primeira ordem linear com condição inicial dada por y’=t^2+y e y(0)=0. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão: y’ - y = t^2. O fator integrante é μ(t)=e^{−∫1 dt}=e^{−t}. Multiplicando a equação por μ(t) obtemos
(y,e^-t)' = t^2,e^-t

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
$$\int (y,e^{-t})

Passo 4

dt = \int t^2 e^{-t},dt \implies y,e^{-t} = -e{-t}(t2+2t+2) + C.$$

Passo 5

Multiplicando por e^{t} para isolar y:
y = -l(t^2+2t+2r) + C,e^t = C,e^t - t^2 - 2t - 2

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0)=0:
0 = C,e^0 - 0^2 - 2cdot0 - 2 implies C - 2 = 0 implies C = 2

Resposta

y(t) = 2e^{t} - t^{2} - 2t - 2

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