Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=t^2+y, y(0)=0 :
Escolha uma opção:
y(t)=2 e^t-t^2-2 t-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão é sobre uma equação diferencial do tipo $ y’ = t^2 + y $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares de primeira ordem: $ y’ + P(t)y = Q(t) $. No nosso caso, temos:
y' + P(t)y = Q(t)
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = t^2 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)

Passo 4

Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
e^-t y' - e^-t y = e^-t t^2
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ e^{-t} y $:
e^-t y

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
O lado esquerdo simplifica para $ e^{-t} y $. Agora, precisamos resolver a integral no lado direito:
integral ddt ( e^-t y ) dt = integral e^-t t^2 , dt

Passo 6

Para resolver $ \int e^{-t} t^2 , dt $, usamos a técnica de integração por partes. Vamos aplicar isso duas vezes:
Primeira integração por partes:
  • $ u = t^2 $ => $ du = 2t , dt $
  • $ dv = e^{-t} , dt $ => $ v = -e^{-t} $
Assim:
integral e^-t t^2 , dt
Segunda integração por partes para $ \int t e^{-t} , dt $:
  • $ u = t $ => $ du = dt $
  • $ dv = e^{-t} , dt $ => $ v = -e^{-t} $
Então:
u = t^2
Voltando:
du = 2t , dt

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação:
e^-t y = -t^2 e^-t - 2t e^-t - 2 e^-t + C
Multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $ para resolver para $ y $:
e^t

Passo 8

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
y(0) = 0

Resposta

A solução do problema é:
y(t) = 2 e^t - t^2 - 2 t - 2

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