Determine a solução do Problema de Valor Inicial
:
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A questão é sobre uma equação diferencial do tipo $ y’ = t^2 + y $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão das equações lineares de primeira ordem: $ y’ + P(t)y = Q(t) $. No nosso caso, temos:
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = t^2 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Passo 4
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto $ e^{-t} y $:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
O lado esquerdo simplifica para $ e^{-t} y $. Agora, precisamos resolver a integral no lado direito:
Passo 6
Para resolver $ \int e^{-t} t^2 , dt $, usamos a técnica de integração por partes. Vamos aplicar isso duas vezes:
Primeira integração por partes:
- $ u = t^2 $ => $ du = 2t , dt $
- $ dv = e^{-t} , dt $ => $ v = -e^{-t} $
Assim:
Segunda integração por partes para $ \int t e^{-t} , dt $:
- $ u = t $ => $ du = dt $
- $ dv = e^{-t} , dt $ => $ v = -e^{-t} $
Então:
Voltando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $ para resolver para $ y $:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $:
Resposta
A solução do problema é: