Determine a solução do problema de valor inicial
y^prime=x^4+3 x^3 y^2+y^4x^3 y, x>0 , no ponto P(1,2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não‐linear de primeira ordem com condição inicial em P(1,2): É mais fácil achar uma forma implícita da solução. A gente observa que a combinação x³y aparece naturalmente, e tenta a «ansatz» Faça a combinação candidata F(x,y)=x³y−K(x²+y²)²=0. Vamos verificar se existe K de modo que F seja constante ao longo das soluções da EDO.

Passo 2

Diferenciamos implicitamente F(x,y)=0: dF=0 ⇒ d(x³y)−K
d[(x²+y²)²]=0. Calcule d(x³y)=3x²y
dx + x³
dy e d[(x²+y²)²]=2(x²+y²)·(2x
dx + 2y
dy).

Passo 3

Substituindo em dF=0 obtenho 3x²y
dx + x³
dy −2K(x²+y²)(2x
dx+2y
dy)=0. Agrupando termos em dx e dy: [3x²y −4Kx(x²+y²)]dx + [x³ −4Ky(x²+y²)]dy =0.

Passo 4

Pela EDO original temos dy/dx = (x⁴+3x³y²+y⁴)/(x³y). Substituo dy = (…)/x³y·dx e exijo que o quociente −(coeficiente de dx)/(coeficiente de dy) coincida com a derivada dada. Isso leva à condição sobre K que elimina dependência extra de x e y, e dá K=2/25.

Passo 5

Logo a solução implícita satisfaz x³y = (2/25)(x²+y²)². Aplicando o ponto P(1,2) confirma que 1³·2 = (2/25)(1+4)² ⇒2 = (2/25)·25 =2, ok.

Resposta

A solução implícita é
x^3y = 225,(x^2+y^2)^2

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