Determine uma família de soluções a um parâmetro para o qual a equação diferencial
y^prime=-4x^2-1x^2 y+y^2

Passo 1

Enunciado: a equação diferencial dada é y'=-tfrac4x^2-tfrac1x^2y+y^2. Conteúdo: é uma equação de Riccati. Vamos usar a substituição y=-tfracu'u para reduzir a um problema linear de segunda ordem.

Passo 2

Fazendo y=-tfracu'u temos
y'= -u''u + l(u'ur)^2
Substituindo em y'=y^2+P(x)y+Q(x) com P(x)=-tfrac1x^2,,Q(x)=-tfrac4x^2 chega-se à equação linear
u''+1x^2u'-4x^2u=0

Passo 3

Multiplicando tudo por x^2 obtemos
x^2u''+u'-4u=0
Para resolver, fazemos a mudança u=x^m v. Ao exigir que o termo em v/x desapareça, m=0 e sobra a equação de Euler
x^2v''+xv'-4v=0,
com equação característica r^2-4=0, gerando r=pm2. Logo
v(x)=C1x^2+C2x^-2
e assim
u(x)=C1x^2+C2x^-2

Passo 4

Voltando a y=-u'/u, calculamos
u'=2C1x-2C2x^-3
e
y(x)=-u'u=-2C1x-C2x^-3C1x^2+C2x^-2
Podemos dividir numerador e denominador por C1 e pôr K=C2/C1 para obter uma constante de integração só.

Passo 5

Simplificando chegamos à família de soluções de parâmetro livre K:
y(x)=2l(K-x^4r)xl(x^4+Kr)

Resposta

y(x)=2l(K - x^4r)xl(x^4 + Kr), com parâmetro KinR.

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