Determine uma família de soluções a um parâmetro para o qual a equação diferencial
Passo 1
Enunciado: a equação diferencial dada é
. Conteúdo: é uma equação de Riccati. Vamos usar a substituição
para reduzir a um problema linear de segunda ordem.
Passo 2
Fazendo
temos
Substituindo em
com
chega-se à equação linear
Passo 3
Multiplicando tudo por
obtemos
Para resolver, fazemos a mudança
. Ao exigir que o termo em
desapareça,
e sobra a equação de Euler
com equação característica
, gerando
. Logo
e assim
Passo 4
Voltando a
, calculamos
e
Podemos dividir numerador e denominador por
e pôr
para obter uma constante de integração só.
Passo 5
Simplificando chegamos à família de soluções de parâmetro livre
: