Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
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Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é dado por:
Este exercício está relacionado a equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente uma equação diferencial linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante ou identificar que essa é uma equação linear e aplicar a fórmula geral para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da equação diferencial. A equação dada é:
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Substituindo $ P(t) = -1 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo em uma derivada exata.
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para $ y $:
Esta é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(1) = 1 $:
Passo 8
Substituindo o valor de $ C $ na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é:
Opção correta: