Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=y+1 ; y(1)=1
Escolha uma opção:
y(t)=e^t^33-t
y(t)=2 e^t-1-1
Nenhuma das demais alternativas
y(t)=e^2(t-1)
y(t)=e^e^t
u(t)=sec t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que é dado por:
y' = y + 1 ; y(1) = 1
Este exercício está relacionado a equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente uma equação diferencial linear. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante ou identificar que essa é uma equação linear e aplicar a fórmula geral para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação diferencial. A equação dada é:
y' = y + 1
Podemos reescrever isso na forma padrão de uma equação diferencial linear:
y' - y = 1
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = -1 $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-t y' - e^-t y = e^-t cdot 1
Isso simplifica para:
ddt ( e^-t y ) = e^-t
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que transforma o lado esquerdo em uma derivada exata.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
integral ddt ( e^-t y ) , dt = integral e^-t , dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para $ y $:
y
Esta é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial $ y(1) = 1 $:
C
y(1) = 1
1 = -1 + C e^1

Passo 8

Substituindo o valor de $ C $ na solução geral:
C
Simplificando:
y(t) = -1 + 2e e^t

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
y(t) = 2 e^t-1 - 1
Opção correta:
y(t) = 2 e^t-1 - 1

Exercícios relacionados