Resolva as equações diferenciais a seguir, escrevendo uma solução geral:
y^prime prime+25 y=4 sen(2 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 25y = 4sin(2x)
Portanto vamos usar a ideia de decompor a solução geral em solução homogênea mais uma solução particular, aplicando a equação característica e o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea, isto é, resolvemos
yh'' + 25yh = 0
A equação característica é
r^2 + 25 = 0 ,implies, r = pm 5i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 cos(5x) + C2 sin(5x)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular da forma
yp(x) = A cos(2x) + B sin(2x)
porque o termo forçante é 4sin(2x) e não há ressonância com a solução homogênea.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x) = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x),
yp''(x) = -4Acos(2x) -4Bsin(2x)
Substituindo em y'' + 25y:
yp'' + 25yp = (-4A + 25A)cos(2x) + (-4B + 25B)sin(2x) = 21Acos(2x) + 21Bsin(2x)
Para valer 4sin(2x), igualamos coeficientes:
21A = 0, 21B = 4
Daí A=0 e B=4/21.

Passo 5

Portanto a solução particular é
yp(x) = 421sin(2x)
Somando as partes homogênea e particular, a solução geral fica

Resposta

y(x) = C1 cos(5x) + C2 sin(5x) + 421sin(2x)

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