O enunciado pede a solução da equação diferencial (problema de valor inicial):
y''-2y'+y=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
Informações dadas:
\text{equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, não homogênea, RHS } \frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
Observação: o enunciado diz “problema de valor inicial” mas não fornece condições iniciais explícitas (valores de y(t_0) e y'(t_0)). Portanto vou determinar a solução geral da equação — isto é, a solução com constantes arbitrárias que, se forem dadas condições iniciais, podem ser usadas para fixá-las.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Explicação da técnica (característica): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos o polinômio característico
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
logo há raiz dupla r=1 de multiplicidade 2. Para raiz dupla a base de soluções fundamentais é
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=t e^{t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=\bigl(C_{1}+C_{2}t\bigr)e^{t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Métodos possíveis:
Coeficientes indeterminados não funcionam bem porque o termo à direita \dfrac{e^{t}}{1+t^{2}} não é um polinômio, exponencial simples, seno ou cosseno multiplicado por polinômio.
Portanto usamos o método da variação de parâmetros, que funciona para qualquer termo não homogêneo dado que conhecemos duas soluções fundamentais da homogênea.
Fórmula (variação de parâmetros) para y''+p(t)y'+q(t)y=g(t) com soluções fundamentais y_{1},y_{2}: escolhemos
onde W(t)=\begin{vmatrix}y_{1} & y_{2}\\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix} é o Wronskiano. (Aqui a equação está já na forma com coeficiente de y'' igual a 1, então g(t) é simplesmente o lado direito.)
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: tomamos
y_{1}(t)=e^{t},\qquad y_{2}(t)=t e^{t},
e o termo não homogêneo
g(t)=\frac{e^{t}}{1+t^{2}}.
Calculamos derivadas:
y_{1}'(t)=e^{t},\qquad y_{2}'(t)=(1+t)e^{t}.
O Wronskiano é
W(t)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=e^{t}\cdot(1+t)e^{t}-e^{t}\cdot t e^{t}=e^{2t}(1+t-t)=e^{2t}.
Comentário: W(t)=e^{2t}\neq 0 para todo t, então a variação de parâmetros é válida.
Passo 5
Usamos as fórmulas para u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)}=-\frac{\dfrac{e^{t}}{1+t^{2}}\cdot t e^{t}}{e^{2t}}
Agora simplificamos: no numerador e^{t}\cdot e^{t}=e^{2t}, que cancela com o e^{2t} do denominador, ficando
u_{2}(t)=\int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\arctan t +C_{b}.
Observação importante sobre constantes: ao construir uma solução particular podemos escolher quaisquer valores das constantes de integração C_{a},C_{b}; termos constantes multiplicados por y_{1} e y_{2} geram parcelas que já estão contidas na solução homogênea. Para obter uma particular explícita escolhemos C_{a}=C_{b}=0. Assim tomamos
u_{1}(t)=-\frac{1}{2}\ln\bigl(1+t^{2}\bigr),\qquad u_{2}(t)=\arctan t.