Determine a solução geral da equação:
y^{\prime \prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y'' + 4y = 0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem.
  • Coeficientes constantes (o termo multiplicando y é 4).
  • É homogênea (lado direito igual a 0).
    O objetivo é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa equação.

Passo 2

Hipótese clássica: tentar uma solução do tipo exponencial \;y(x)=e^{rx}\;, onde r é um número (a descobrir). Motivação: derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em r. Calculando as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{rx} + 4 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{2}+4=0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^{2}+4=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-4.
Então
r=\pm 2i,
onde i é a unidade imaginária ( i^{2}=-1). Ou seja, as raízes são complexas conjugadas r_{1}=2i e r_{2}=-2i.

Passo 4

Regra para raízes complexas: se as raízes da equação característica são r=a\pm bi (com a,b reais e b\neq 0), a solução geral real é
y(x)=e^{ax}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. No nosso caso, a=0 e b=2. Portanto a forma reduz para combinações de cosseno e seno com frequência 2.
Explicação rápida de por que isso funciona (intuição): as soluções complexas e^{(a+bi)x}=e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx)). Tomando combinações lineares adequadas das soluções complexas conjugadas obtém-se soluções reais \cos(bx) e \sin(bx).

Passo 5

Aplicando o caso específico a=0, b=2, obtemos imediatamente a solução geral real:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} constantes arbitrárias.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro na prova): calcule y' e y'' e substitua na equação.
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x),
y''(x)=-4C_{1}\cos(2x)-4C_{2}\sin(2x)=-4\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big)=-4y(x).
Logo y''+4y= -4y+4y=0, verificado.

Passo 7

Observação sobre independência linear (para garantir que obtemos a família completa de soluções): as funções \cos(2x) e \sin(2x) são linearmente independentes — por exemplo o Wronskiano é
W(\cos(2x),\sin(2x))= \begin{vmatrix} \cos(2x) & \sin(2x)\\[4pt] -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{vmatrix} =2\big(\cos^{2}(2x)+\sin^{2}(2x)\big)=2\neq 0,
portanto formam uma base de soluções da equação homogênea de segunda ordem.]

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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