O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y'' + 4y = 0.
Informações dadas:
É uma equação diferencial de segunda ordem.
Coeficientes constantes (o termo multiplicando y é 4).
É homogênea (lado direito igual a 0).
O objetivo é encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa equação.
Passo 2
Hipótese clássica: tentar uma solução do tipo exponencial \;y(x)=e^{rx}\;, onde r é um número (a descobrir). Motivação: derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica em r. Calculando as derivadas:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{rx} + 4 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^{2}+4=0.
Passo 3
Resolver a equação característica:
r^{2}+4=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-4.
Então
r=\pm 2i,
onde i é a unidade imaginária (i^{2}=-1). Ou seja, as raízes são complexas conjugadas r_{1}=2i e r_{2}=-2i.
Passo 4
Regra para raízes complexas: se as raízes da equação característica são r=a\pm bi (com a,b reais e b\neq 0), a solução geral real é
y(x)=e^{ax}\big(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. No nosso caso, a=0 e b=2. Portanto a forma reduz para combinações de cosseno e seno com frequência 2.
Explicação rápida de por que isso funciona (intuição): as soluções complexas e^{(a+bi)x}=e^{ax}(\cos(bx)+i\sin(bx)). Tomando combinações lineares adequadas das soluções complexas conjugadas obtém-se soluções reais \cos(bx) e \sin(bx).
Passo 5
Aplicando o caso específico a=0, b=2, obtemos imediatamente a solução geral real:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R} constantes arbitrárias.
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro na prova): calcule y' e y'' e substitua na equação.
Observação sobre independência linear (para garantir que obtemos a família completa de soluções): as funções \cos(2x) e \sin(2x) são linearmente independentes — por exemplo o Wronskiano é