O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10=5+5 e 10=7+3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de doís números primos?
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) nenhuma

Passo 1

O enunciado nos diz que podemos escrever o número 10 como soma de dois números primos de duas formas: 10=5+5 e 10=7+3. A pergunta é: de quantas maneiras podemos expressar o número 25 como soma de dois números primos? As opções são:
\text{A) }4,\quad \text{B) }1,\quad \text{C) }2,\quad \text{D) }3,\quad \text{E) nenhuma.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i) estamos somando exatamente dois primos,}
\text{(ii) no exemplo de \(10\) as decomposições consideradas foram \(5+5\) e \(7+3\) (ou seja, pares não ordenados).}çõã

Passo 2

Primeiro, o que é um número primo? Um número primo é um inteiro maior que 1 que só tem dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Exemplos de primos pequenos (que nos interessam aqui porque somandos devem ser menores que 25) são:
2,3,5,7,11,13,17,19,23.
Não precisamos considerar primos maiores ou iguais a 25 porque a soma de dois primos que dê 25 exige que ambos sejam menores ou iguais a 25.

Passo 3

Uma observação muito útil sobre paridade (par/ímpar): a soma de dois números ímpares é sempre par, e a soma de um número par com um número ímpar é ímpar. Entre os primos, todos são ímpares exceto o 2, que é o único primo par. Como 25 é ímpar, para escrever
25 = p+q
com p e q primos, é necessário que exatamente um dos primos seja par e o outro ímpar. Como o único primo par é 2, isso implica que qualquer decomposição de 25 em soma de dois primos deve ter obrigatoriamente um dos termos igual a 2.

Passo 4

Pelo passo anterior, a única possibilidade a verificar é:
25 = 2 + r,
onde r deve ser primo. Então calculemos r:
r = 25 - 2 = 23.
Verificamos na lista de primos do passo 2 que 23 é primo. Portanto 25 = 2 + 23 é uma decomposição válida em dois primos.

Passo 5

Checagem de outras possibilidades: já que o par é considerado não ordenado (como no exemplo 10=7+3 contado apenas uma vez), não precisamos contar 23+2 separadamente. Também não existe decomposição com primos iguais, porque isso exigiria 25 = p+p = 2p, ou seja p = 12{,}5, que não é inteiro. Logo não há outra possibilidade.

Passo 6

Conclusão: só existe uma maneira de escrever 25 como soma de dois primos, que é 25=2+23. Portanto a alternativa correta é a que indica 1 maneira.

Resposta

B) 1

Exercícios relacionados