O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos:
e
. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de doís números primos?
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) nenhuma
A) 4
B) 1
C) 2
D) 3
E) nenhuma
Passo 1
O enunciado nos diz que podemos escrever o número
como soma de dois números primos de duas formas:
e
. A pergunta é: de quantas maneiras podemos expressar o número
como soma de dois números primos? As opções são:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Passo 2
Primeiro, o que é um número primo? Um número primo é um inteiro maior que
que só tem dois divisores positivos distintos:
e ele mesmo. Exemplos de primos pequenos (que nos interessam aqui porque somandos devem ser menores que
) são:
Não precisamos considerar primos maiores ou iguais a
porque a soma de dois primos que dê
exige que ambos sejam menores ou iguais a
.
Passo 3
Uma observação muito útil sobre paridade (par/ímpar): a soma de dois números ímpares é sempre par, e a soma de um número par com um número ímpar é ímpar. Entre os primos, todos são ímpares exceto o
, que é o único primo par. Como
é ímpar, para escrever
com
e
primos, é necessário que exatamente um dos primos seja par e o outro ímpar. Como o único primo par é
, isso implica que qualquer decomposição de
em soma de dois primos deve ter obrigatoriamente um dos termos igual a
.
Passo 4
Pelo passo anterior, a única possibilidade a verificar é:
onde
deve ser primo. Então calculemos
:
Verificamos na lista de primos do passo 2 que
é primo. Portanto
é uma decomposição válida em dois primos.
Passo 5
Checagem de outras possibilidades: já que o par é considerado não ordenado (como no exemplo
contado apenas uma vez), não precisamos contar
separadamente. Também não existe decomposição com primos iguais, porque isso exigiria
, ou seja
, que não é inteiro. Logo não há outra possibilidade.
Passo 6
Conclusão: só existe uma maneira de escrever
como soma de dois primos, que é
. Portanto a alternativa correta é a que indica
maneira.
Resposta
B) 1