Determine a solução do Problema de Valor Inicial
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A questão é encontrar a solução da equação diferencial $ y’ = y + t $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso se encaixa no conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, identifique nossa equação diferencial no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, podemos reescrever $ y’ = y + t $ como:
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = t $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante $ \mu(t) $ é:
Substituindo $ P(t) = -1 $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto $ \mu(t)y $:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Isso simplifica para:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar $ C $:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: