Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=y+t ; y(0)=0 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A questão é encontrar a solução da equação diferencial $ y’ = y + t $ com a condição inicial $ y(0) = 0 $. Isso se encaixa no conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, identifique nossa equação diferencial no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + P(t)y = Q(t)
No nosso caso, podemos reescrever $ y’ = y + t $ como:
y' = y + t
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = t $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. A fórmula para o fator integrante $ \mu(t) $ é:
mu(t)
Substituindo $ P(t) = -1 $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante:
e^-ty' - e^-ty = te^-t
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto $ \mu(t)y $:
mu(t)y

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
Isso simplifica para:
integral ddt(e^-ty) , dt = integral te^-t , dt
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para $ y $ multiplicando ambos os lados por $ e^{t} $:
y

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $ para encontrar $ C $:
y(0) = 0
C
0 = -0 - 1 + C e^0

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = -t - 1 + e^t

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