Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
x² y′ + 2x y = cos x.
O conteúdo aqui é EDO linear de 1ª ordem, e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.
x² y′ + 2x y = cos x.
O conteúdo aqui é EDO linear de 1ª ordem, e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, dividimos ambos os lados por x² (considerando x ≠ 0) para colocar na forma padrão y′ + P(x)y = Q(x):
Passo 3
Em EDOs lineares de 1ª ordem, o fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
. O lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
ou seja,
onde C é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, isolamos
: