Determine as soluções das equações diferenciais lineares de la ordem abaixo:
x^2 y^prime+2 x y=cos x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de primeira ordem
x² y′ + 2x y = cos x.
O conteúdo aqui é EDO linear de 1ª ordem, e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por x² (considerando x ≠ 0) para colocar na forma padrão y′ + P(x)y = Q(x):
y' + 2xy = cos xx^2

Passo 3

Em EDOs lineares de 1ª ordem, o fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^2ln|x| = x^2

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^2. O lado esquerdo se torna a derivada do produto x^2 y:
ddx(x^2 y) = x^2 y' + 2x y = cos x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(x^2 y),dx = integral cos x,dx
ou seja,
x^2 y = sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y = sin x + Cx^2 = sin xx^2 + Cx^2

Resposta

y(x) = sin xx^2 + Cx^2

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