Resolva a equação diferencial:
d yd x+y=e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
dydx + y = e^x
Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante, que é uma técnica para simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação na forma padrão:
dydx + P(x) cdot y = Q(x)
Aqui, temos P(x) = 1 e Q(x) = e^x .

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante mu(x) , que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = 1 :
mu(x) = e^integral 1 , dx = e^x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x) = e^x :
e^x cdot dydx + e^x cdot y = e^x cdot e^x
Isso simplifica para:
e^x cdot dydx + e^x cdot y = e^2x

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto y cdot e^x :
ddx(y cdot e^x) = e^2x

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x :
integral ddx(y cdot e^x) , dx = integral e^2x , dx
Isso resulta em:
y cdot e^x = 12 e^2x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos y dividindo ambos os lados por e^x :
y = 12 e^x + C e^-x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = 12 e^x + C e^-x
Onde C é uma constante qualquer.

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