Resolva o PVI
, com
. Determine o valor de
no infinito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! O enunciado pede para resolver o PVI (Problema de Valor Inicial)
com a condição inicial
. Nosso objetivo final é descobrir qual é o valor de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de resolução como a separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Isso significa que podemos rearranjar os termos para separar as variáveis
e
em lados opostos da equação, facilitando a integração.
Passo 3
Vamos começar separando as variáveis. A equação é:
Podemos reescrever isso como:
Isso coloca todas as expressões envolvendo
de um lado e
do outro.
Passo 4
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Antes de integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a fração usando frações parciais. A expressão
pode ser decomposta assim:
Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular as integrais:
Integrando, obtemos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos chamar
de uma nova constante
, então:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Podemos simplificar essa expressão para:
Passo 10
Agora, queremos determinar o valor de
quando
tende ao infinito:
À medida que
vai para o infinito,
tende a zero. Então:
Resposta
O valor de
no infinito é 1.