Resolva o PVI y^prime=y(1-y), com y(0)=12. Determine o valor de y no infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial! O enunciado pede para resolver o PVI (Problema de Valor Inicial) y' = y(1 - y) com a condição inicial y(0) = 12 . Nosso objetivo final é descobrir qual é o valor de y quando t tende ao infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e métodos de resolução como a separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação dada é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Isso significa que podemos rearranjar os termos para separar as variáveis y e t em lados opostos da equação, facilitando a integração.

Passo 3

Vamos começar separando as variáveis. A equação é:
dydt = y(1 - y)
Podemos reescrever isso como:
dyy(1 - y) = dt
Isso coloca todas as expressões envolvendo y de um lado e t do outro.

Passo 4

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. Antes de integrar o lado esquerdo, vamos simplificar a fração usando frações parciais. A expressão 1y(1 - y) pode ser decomposta assim:
1y(1 - y) = 1y + 11 - y
Portanto, a integral fica:
integral ( 1y + 11 - y ) dy = integral dt

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
integral 1y dy + integral 11 - y dy = integral dt
Integrando, obtemos:
ln|y| - ln|1 - y| = t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln( y1 - y ) = t + C
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
y1 - y = e^t + C = e^Ce^t
Podemos chamar e^C de uma nova constante K , então:
y1 - y = Ke^t

Passo 7

Agora, resolvemos para y :
y = Ke^t(1 - y)
y = Ke^t - Ke^ty
y + Ke^ty = Ke^t
y(1 + Ke^t) = Ke^t
y = Ke^t1 + Ke^t

Passo 8

Vamos aplicar a condição inicial y(0) = 12 para encontrar o valor de K :
12 = K e^01 + K e^0 = K1 + K
Multiplicando ambos os lados por 1 + K :
12(1 + K) = K
12 + K2 = K
12 = K2
K = 1

Passo 9

Substituindo K = 1 na expressão de y :
y = e^t1 + e^t
Podemos simplificar essa expressão para:
y = 11 + e^-t

Passo 10

Agora, queremos determinar o valor de y quando t tende ao infinito:
limt to infty y = limt to infty 11 + e^-t
À medida que t vai para o infinito, e^-t tende a zero. Então:
limt to infty y = 11 + 0 = 1

Resposta

O valor de y no infinito é 1.

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