Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
Passo 1
O enunciado pede a solução do Problema de Valores Iniciais dado por
Informações que temos:
- É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Condições iniciais:
e .
O objetivo final é encontrar a funçãoque satisfaz a equação e essas condições iniciais.]
Passo 2
Ideia do método (passo a passo didático):
- Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo
, onde é um número (pode ser complexo). Isso funciona porque derivadas de produzem fatores que transformam a equação diferencial numa equação algébrica para . - Substituindo
na equação obtém-se a chamada equação característica (ou polinômio característico). Vamos fazer isso agora.
Passo 3
Formação e resolução da equação característica:
Substituindo na equação
obtemos
Substituindo
Como
, divide-se por
e fica a equação algébrica
Calcule o discriminante
com
,
,
:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calcule-as:
Passo 4
Forma geral da solução quando há raízes complexas:
- Quando as raízes da equação característica são
(com ), a solução geral real da equação diferencial é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
- No nosso caso
e . Portanto a solução geral é
Explicando cada termo:
-
representa um fator exponencial de decaimento (pois ), chamado amortecimento. -
e representam a parte oscilatória com frequência angular . -
ajustam fase e amplitude de acordo com as condições iniciais.
Passo 5
Cálculo de
explicitamente (para aplicar a condição
):
Partimos de
Partimos de
Usamos a regra do produto e as derivadas de
e
. Derivando:
Calculando cada parte:
Portanto
Fatorando
e recolhendo termos em
e
:
(Observação: esta forma é obtida aplicando-se a distributiva e somando os coeficientes correspondentes de
e
.)
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
- Usando
. Como , e ,
Logo
.
- Usando
. Avaliando a expressão de em :
Substituindo
e impondo
:
Portanto
Passo 7
Escrevendo a solução particular com os valores encontrados:
Podemos, se preferir, escrever
como
em notação decimal:
Pequeno comentário motivacional: esse tipo de solução é típico de sistemas oscilatórios amortecidos — tem uma oscilação de frequência
e um decaimento exponencial com taxa
. Nada de pânico: a técnica sempre é a mesma: tentar
, achar raízes, montar a solução geral e aplicar condições iniciais.