Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}+1,25 y=0 \\\ y(0)=3 ; y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do Problema de Valores Iniciais dado por
\begin{cases} y''+y'+1,25\,y=0,\\[4pt] y(0)=3,\quad y'(0)=1. \end{cases}
Informações que temos:
  • É uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Condições iniciais: \;y(0)=3 e \;y'(0)=1.
    O objetivo final é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e essas condições iniciais.]

Passo 2

Ideia do método (passo a passo didático):
  • Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma técnica padrão é tentar uma solução do tipo y(t)=e^{r t}, onde r é um número (pode ser complexo). Isso funciona porque derivadas de e^{r t} produzem fatores r que transformam a equação diferencial numa equação algébrica para r.
  • Substituindo y=e^{r t} na equação obtém-se a chamada equação característica (ou polinômio característico). Vamos fazer isso agora.

Passo 3

Formação e resolução da equação característica:
Substituindo y=e^{r t} na equação \;y''+y'+1,25\,y=0 obtemos
r^2 e^{r t} + r e^{r t} + 1,25\, e^{r t} = 0.
Como e^{r t}\neq 0, divide-se por e^{r t} e fica a equação algébrica
r^2 + r + 1,25 = 0.
Calcule o discriminante \Delta = b^2 - 4ac com a=1, b=1, c=1,25:
\Delta = 1^2 - 4\cdot1\cdot1,25 = 1 - 5 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calcule-as:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-1 \pm 2\mathrm{i}}{2} = -\tfrac{1}{2} \pm \mathrm{i}.

Passo 4

Forma geral da solução quando há raízes complexas:
  • Quando as raízes da equação característica são \;r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta (com \beta>0), a solução geral real da equação diferencial é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
  • No nosso caso \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=1. Portanto a solução geral é
y(t)=e^{-t/2}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Explicando cada termo:
  • e^{-t/2} representa um fator exponencial de decaimento (pois \alpha<0), chamado amortecimento.
  • \cos t e \sin t representam a parte oscilatória com frequência angular \beta=1.
  • C_1,C_2 ajustam fase e amplitude de acordo com as condições iniciais.

Passo 5

Cálculo de y'(t) explicitamente (para aplicar a condição y'(0)=1):
Partimos de
y(t)=e^{-t/2}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Usamos a regra do produto e as derivadas de \cos e \sin. Derivando:
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-t/2}\big)\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + e^{-t/2}\frac{d}{dt}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Calculando cada parte:
\frac{d}{dt}\big(e^{-t/2}\big)=-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}, \qquad \frac{d}{dt}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big)=-C_1\sin t + C_2\cos t.
Portanto
y'(t)=-\tfrac{1}{2}e^{-t/2}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big)+e^{-t/2}\big(-C_1\sin t + C_2\cos t\big).
Fatorando e^{-t/2} e recolhendo termos em \cos t e \sin t:
y'(t)=e^{-t/2}\Big[\big(-\tfrac{1}{2}C_1 + C_2\big)\cos t + \big(-\tfrac{1}{2}C_2 - C_1\big)\sin t\Big].
(Observação: esta forma é obtida aplicando-se a distributiva e somando os coeficientes correspondentes de \cos t e \sin t.)

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
  1. Usando y(0)=3. Como e^{0}=1, \cos 0=1 e \sin 0=0,
y(0)=C_1 = 3.
Logo \;C_1=3.
  1. Usando y'(0)=1. Avaliando a expressão de y'(t) em t=0:
y'(0)=\big(-\tfrac{1}{2}C_1 + C_2\big)\cdot 1 + \big(-\tfrac{1}{2}C_2 - C_1\big)\cdot 0 = -\tfrac{1}{2}C_1 + C_2.
Substituindo C_1=3 e impondo y'(0)=1:
1 = -\tfrac{1}{2}\cdot 3 + C_2 = -\tfrac{3}{2} + C_2.
Portanto
C_2 = 1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{5}{2}.

Passo 7

Escrevendo a solução particular com os valores encontrados:
y(t)=e^{-t/2}\left(3\cos t + \tfrac{5}{2}\sin t\right).
Podemos, se preferir, escrever \tfrac{5}{2} como 2,5 em notação decimal:
y(t)=e^{-t/2}\big(3\cos t + 2{,}5\,\sin t\big).
Pequeno comentário motivacional: esse tipo de solução é típico de sistemas oscilatórios amortecidos — tem uma oscilação de frequência 1 e um decaimento exponencial com taxa \tfrac{1}{2}. Nada de pânico: a técnica sempre é a mesma: tentar e^{rt}, achar raízes, montar a solução geral e aplicar condições iniciais.

Resposta

y(t)=e^{-t/2}\left(3\cos t + \tfrac{5}{2}\sin t\right)

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