Encontre a solução geral das E.D.O. de
ordem não homogêneas pelo Método dos Coeficientes a Determinar
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes:
- É uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - O que se pede: encontrar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da associada homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (aquela com lado direito zero):
Vamos usar o método padrão: supor uma solução da forma
e obter a equação característica. Substituindo
na homogênea dá
Resolvendo:
Quando as raízes são complexas conjugadas
(aqui
,
), a solução geral real da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando de forma simples: cada par de raízes complexas gera um par de funções
e
multiplicadas por
; como
obtemos apenas
e
.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
tal que, substituída na equação completa, gere o termo
.
Regra prática do método dos coeficientes a determinar:
- Se o termo não-homogêneo é combinação de funções do tipo polinômio, exponencial, seno e cosseno, tenta-se um ansatz (chute) com coeficientes indeterminados do mesmo tipo.
- Se esse ansatz coincide com alguma solução da homogênea (resonância), multiplica-se o ansatz por
(ou por , sendo a multiplicidade da raiz correspondente na característica).
Aqui o lado direito é
. Mas
já está presente na solução homogênea. Logo há ressonância de ordem
(a raiz
é simples). Assim o chute deve ser multiplicado por
. Tomamos:
onde
e
são constantes a determinar. Isso é porque a forma sem o
estaria na homogênea e não permitiria ajustar uma parte particular.
Passo 4
Vamos calcular
e
com cuidado (regra do produto):
Primeiro escrevendo
com
.
Derivando:
onde
Assim
Derivando novamente (nova aplicação do produto onde necessário):
porque
e então
.
Calculando
já temos e
Logo
e
Somando:
Passo 5
Substituímos
e
na equação
:
O lado esquerdo para
fica
Agora observe os termos que multiplicam
:
Eles se cancelam — isso acontece frequentemente em casos de ressonância e é a razão pela qual multiplicamos por
no chute. Restam apenas os termos sem
:
Como queremos que isso seja igual a
, igualamos coeficientes de
e
:
Portanto
Passo 6
Com esses valores,
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular: