Encontre a solução geral das E.D.O. de 2^{\mathrm{a}} ordem não homogêneas pelo Método dos Coeficientes a Determinar
y^{\prime \prime}+4 y=\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
y'' + 4y = \cos(2x).
Informações relevantes:
  • É uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \cos(2x).
  • O que se pede: encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da associada homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (aquela com lado direito zero):
y''+4y=0.
Vamos usar o método padrão: supor uma solução da forma e^{rx} e obter a equação característica. Substituindo y=e^{rx} na homogênea dá
r^{2}+4=0.
Resolvendo:
r^{2}=-4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2\mathrm{i}.
Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm \beta\mathrm{i} (aqui \alpha=0, \beta=2), a solução geral real da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando de forma simples: cada par de raízes complexas gera um par de funções \cos(\beta x) e \sin(\beta x) multiplicadas por e^{\alpha x}; como \alpha=0 obtemos apenas \cos(2x) e \sin(2x).

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) tal que, substituída na equação completa, gere o termo \cos(2x).
Regra prática do método dos coeficientes a determinar:
  • Se o termo não-homogêneo é combinação de funções do tipo polinômio, exponencial, seno e cosseno, tenta-se um ansatz (chute) com coeficientes indeterminados do mesmo tipo.
  • Se esse ansatz coincide com alguma solução da homogênea (resonância), multiplica-se o ansatz por x (ou por x^{m}, sendo m a multiplicidade da raiz correspondente na característica).
Aqui o lado direito é \cos(2x). Mas \cos(2x) já está presente na solução homogênea. Logo há ressonância de ordem 1 (a raiz 2\mathrm{i} é simples). Assim o chute deve ser multiplicado por x. Tomamos:
y_{p}(x)=x\bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr),
onde A e B são constantes a determinar. Isso é porque a forma sem o x estaria na homogênea e não permitiria ajustar uma parte particular.

Passo 4

Vamos calcular y_{p}' e y_{p}'' com cuidado (regra do produto):
Primeiro escrevendo y_{p}(x)=x\cdot u(x) com u(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x).
Derivando:
y_{p}'=u + x u',
onde
u'=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x).
Assim
y_{p}'=A\cos(2x)+B\sin(2x)+x\bigl(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\bigr).
Derivando novamente (nova aplicação do produto onde necessário):
y_{p}''=u' + u' + x u'' = 2u' + x u'',
porque y_p' = u + x u' e então y_p'' = u' + (u' + x u'').
Calculando u' já temos e
u'' = -4A\cos(2x)-4B\sin(2x).
Logo
2u' = 2\bigl(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\bigr)= -4A\sin(2x)+4B\cos(2x),
e
x u'' = x\bigl(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\bigr).
Somando:
y_{p}'' = \bigl(-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)\bigr) + x\bigl(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\bigr).

Passo 5

Substituímos y_{p} e y_{p}'' na equação y''+4y=\cos(2x):
O lado esquerdo para y_{p} fica
y_{p}'' + 4y_{p} = \bigl(-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)\bigr) + x\bigl(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\bigr) +4x\bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr).
Agora observe os termos que multiplicam x:
x\bigl(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\bigr) + 4x\bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr)=x\cdot 0.
Eles se cancelam — isso acontece frequentemente em casos de ressonância e é a razão pela qual multiplicamos por x no chute. Restam apenas os termos sem x:
y_{p}''+4y_{p}=4B\cos(2x)-4A\sin(2x).
Como queremos que isso seja igual a \cos(2x), igualamos coeficientes de \cos(2x) e \sin(2x):
4B = 1,\qquad -4A = 0.
Portanto
A=0,\qquad B=\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Com esses valores,
y_{p}(x)=x\bigl(0\cdot\cos(2x)+\tfrac{1}{4}\sin(2x)\bigr)=\tfrac{1}{4}x\sin(2x).
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}x\sin(2x).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\dfrac{1}{4}x\sin(2x)

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