Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais; preciso encontrar a função
que satisfaça tudo. Dados fornecidos:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
O que o problema pede:
- Determinar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Ideia de tentativa (explicação do método usado, passo a passo e didática):
- Para equações lineares com coeficientes constantes como
, uma técnica padrão é tentar uma solução da forma , onde é um número (que pode ser complexo). Por que isso funciona? Se então e . Substituindo na equação obtém-se uma equação algébrica em , chamada equação característica. - Vamos construir a equação característica: substituir
em e dividir por (que nunca é zero) resulta em
- Agora resolvemos essa equação quadrática para
. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. Usando a fórmula de Bhaskara:
- Interpretação das raízes complexas: se as raízes são
e (com reais e ), a solução geral real da equação homogênea é
onde
e
são constantes reais. Aqui,
e
, logo a forma geral será um decaimento exponencial
multiplicando combinações de seno e cosseno.
Passo 3
Escrever a solução geral (com constantes arbitrárias) usando a fórmula do passo anterior:
onde
e
são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Aplicar a condição inicial
para obter uma equação para as constantes:
- Calcular
. Substituindo na expressão geral:
- Como
pelo enunciado, obtemos
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Primeiro precisamos da expressão de
. Vamos derivar passo a passo usando a regra do produto:
- Começando de
aplicamos a derivada:
- Calcular cada termo:
- Substituindo:
- Colocando
em evidência e agrupando os termos em e :
- Avaliando em
(lembre que , , ):
- A condição inicial diz
, então
- Substituindo
(do passo anterior):
Passo 6
Resumo dos resultados obtidos nos passos anteriores:
-
. -
.