Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais; preciso encontrar a função y(t) que satisfaça tudo. Dados fornecidos:
  • Equação diferencial: y''+4y'+5y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0.
O que o problema pede:
  • Determinar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Ideia de tentativa (explicação do método usado, passo a passo e didática):
  • Para equações lineares com coeficientes constantes como \;y''+4y'+5y=0\;, uma técnica padrão é tentar uma solução da forma \;y(t)=e^{rt}\;, onde r é um número (que pode ser complexo). Por que isso funciona? Se y(t)=e^{rt} então y'(t)=r e^{rt} e y''(t)=r^{2} e^{rt}. Substituindo na equação obtém-se uma equação algébrica em r, chamada equação característica.
  • Vamos construir a equação característica: substituir y=e^{rt} em y''+4y'+5y=0 e dividir por e^{rt} (que nunca é zero) resulta em
r^{2}+4r+5=0.
  • Agora resolvemos essa equação quadrática para r. Calculando o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} = \frac{-4\pm 2i}{2} = -2\pm i.
  • Interpretação das raízes complexas: se as raízes são r_{1}=\alpha+i\beta e r_{2}=\alpha-i\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq0), a solução geral real da equação homogênea é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais. Aqui, \alpha=-2 e \beta=1, logo a forma geral será um decaimento exponencial e^{-2t} multiplicando combinações de seno e cosseno.

Passo 3

Escrever a solução geral (com constantes arbitrárias) usando a fórmula do passo anterior:
y(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para obter uma equação para as constantes:
  • Calcular y(0). Substituindo t=0 na expressão geral:
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=1\cdot\big(C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0\big)=C_{1}.
  • Como y(0)=1 pelo enunciado, obtemos
C_{1}=1.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y'(0)=0. Primeiro precisamos da expressão de y'(t). Vamos derivar passo a passo usando a regra do produto:
  • Começando de
y(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
aplicamos a derivada:
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big)\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+e^{-2t}\frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big).
  • Calcular cada termo:
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big)=-2e^{-2t}, \qquad \frac{d}{dt}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t.
  • Substituindo:
y'(t)=-2e^{-2t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+e^{-2t}\big(-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t\big).
  • Colocando e^{-2t} em evidência e agrupando os termos em \cos t e \sin t:
y'(t)=e^{-2t}\big[(-2C_{1}+C_{2})\cos t+(-2C_{2}-C_{1})\sin t\big].
  • Avaliando em t=0 (lembre que \cos 0=1, \sin 0=0, e^{0}=1):
y'(0)=(-2C_{1}+C_{2}).
  • A condição inicial diz y'(0)=0, então
-2C_{1}+C_{2}=0.
  • Substituindo C_{1}=1 (do passo anterior):
-2\cdot 1 + C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos nos passos anteriores:
  • C_{1}=1.
  • C_{2}=2.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big)

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