Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=1 ; y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
\mathrm{R}: y(t)=e^{-2 t}[\cos (t)+2 \operatorname{sen}(t)]

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e duas condições iniciais. Especificamente:
  • Equação diferencial: y''+4y'+5y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: determinar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes da forma y''+ay'+by=0, o procedimento padrão é procurar soluções da forma exponencial \,y(t)=e^{rt}\,. Esse chute transforma a equação diferencial numa equação algébrica (o polinômio característico). Por que isso funciona? Porque a derivada de e^{rt} é proporcional a e^{rt}, então todas as derivadas entram com o mesmo fator exponencial e sobra apenas uma relação entre constantes — isto é, uma equação para o expoente r. Isso reduz o problema diferencial a um problema de álgebra (resolver uma equação polinomial). Vamos aplicar isso.

Passo 3

Formar o polinômio característico: supondo y(t)=e^{rt}, temos y' = r e^{rt} e y'' = r^2 e^{rt}. Substituindo na equação:
r^2 e^{rt} + 4 r e^{rt} + 5 e^{rt} = 0.
Como e^{rt}\neq 0 para todo t, pode-se dividir por e^{rt} e obter o polinômio característico
r^2 + 4r + 5 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica (fórmula quadrática explicada): a equação é do tipo ar^2+br+c=0 com a=1, b=4, c=5. A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a é o coeficiente do termo r^2, b do termo r e c o termo independente. Calculando o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 4^2 - 4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas. Tomando a raiz quadrada:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-4}=2\mathrm{i}.
Portanto as raízes são
r=\frac{-4\pm 2\mathrm{i}}{2} = -2 \pm \mathrm{i}.

Passo 5

Interpretação das raízes e forma geral da solução (aula curta): quando as raízes do polinômio característico são complexas conjugadas \alpha\pm \mathrm{i}\beta, a forma geral das soluções reais da equação diferencial é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui \alpha é a parte real da raiz e \beta é a parte imaginária (positiva). No nosso caso \alpha=-2 e \beta=1. Logo a solução geral é
y(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Breve justificação: isso vem de escrever e^{(\alpha+\mathrm{i}\beta)t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t+\mathrm{i}\sin\beta t) (fórmula de Euler) e tomar as combinações reais.

Passo 6

Calcular a derivada y'(t) para aplicar as condições iniciais (passo a passo com regra do produto): temos
y(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Usando a regra do produto (uv)'=u'v+uv', com u=e^{-2t} e v=C_1\cos t + C_2\sin t:
  • u' = -2e^{-2t}.
  • v' = -C_1\sin t + C_2\cos t.
    Portanto
y'(t) = -2e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + e^{-2t}\big(-C_1\sin t + C_2\cos t\big).
Fatorando e^{-2t} e agrupando termos em \cos t e \sin t:
y'(t)=e^{-2t}\Big[(-2C_1 + C_2)\cos t + (-C_1 - 2C_2)\sin t\Big].

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2:
  1. Usando y(0)=1. Avaliando y(t) em t=0:
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=1\cdot(C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0)=C_1.
Logo
C_1=1.
  1. Usando y'(0)=0. Avaliando y'(t) em t=0:
y'(0)=e^{0}\big((-2C_1 + C_2)\cos 0 + (-C_1 -2C_2)\sin 0\big)=(-2C_1 + C_2)\cdot 1 + \cdots\cdot 0 = -2C_1 + C_2.
Impondo y'(0)=0 obtém-se
-2C_1 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 2C_1.
Com C_1=1 segue C_2=2.

Passo 8

Montar a solução particular com as constantes encontradas: substituindo C_1=1 e C_2=2 na solução geral,
y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big).
Pequena verificação mental: as constantes satisfazem as condições iniciais e a forma decorre das raízes -2\pm \mathrm{i}, então esta é a solução correta.

Resposta

y(t)=e^{-2 t}\big(\cos t + 2\,\operatorname{sen} t\big)

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