Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes e duas condições iniciais. Especificamente:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
O que se pede: determinar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes da forma
o procedimento padrão é procurar soluções da forma exponencial
. Esse chute transforma a equação diferencial numa equação algébrica (o polinômio característico). Por que isso funciona? Porque a derivada de
é proporcional a
, então todas as derivadas entram com o mesmo fator exponencial e sobra apenas uma relação entre constantes — isto é, uma equação para o expoente
. Isso reduz o problema diferencial a um problema de álgebra (resolver uma equação polinomial). Vamos aplicar isso.
Passo 3
Formar o polinômio característico: supondo
, temos
e
. Substituindo na equação:
Como
para todo
, pode-se dividir por
e obter o polinômio característico
Passo 4
Resolver a equação característica (fórmula quadrática explicada): a equação é do tipo
com
,
,
. A fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) dá as raízes
Aqui
é o coeficiente do termo
,
do termo
e
o termo independente. Calculando o discriminante:
Como
, as raízes são complexas. Tomando a raiz quadrada:
Portanto as raízes são
Passo 5
Interpretação das raízes e forma geral da solução (aula curta): quando as raízes do polinômio característico são complexas conjugadas
, a forma geral das soluções reais da equação diferencial é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui
é a parte real da raiz e
é a parte imaginária (positiva). No nosso caso
e
. Logo a solução geral é
Breve justificação: isso vem de escrever
(fórmula de Euler) e tomar as combinações reais.
Passo 6
Calcular a derivada
para aplicar as condições iniciais (passo a passo com regra do produto): temos
Usando a regra do produto
, com
e
:
-
-
Portanto
Fatorando
e agrupando termos em
e
:
Passo 7
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
:
- Usando
. Avaliando em :
Logo
- Usando
. Avaliando em :
Impondo
obtém-se
Com
segue
.
Passo 8
Montar a solução particular com as constantes encontradas: substituindo
e
na solução geral,
Pequena verificação mental: as constantes satisfazem as condições iniciais e a forma decorre das raízes
, então esta é a solução correta.