Determine a solução dos Problemas de Valores Iniciais
\left\{\begin{array}{c}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(\pi / 2)=0 ; y^{\prime}(\pi / 2)=2\end{array}\right.
R: y(t)=-e^{t-\pi / 2} \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y''-2y'+5y=0,\\[4pt] y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0,\quad y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2. \end{cases}
Informações dadas:
  • A equação diferencial é homogênea e linear com coeficientes constantes.
  • As condições iniciais são dadas em t_0=\dfrac{\pi}{2}: o valor de y e de y' nesse ponto.
    O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]

Passo 2

Transformar a equação diferencial em sua equação característica (método padrão para EDs lineares com coeficientes constantes). Para uma equação homogênea de segunda ordem
y''-2y'+5y=0,
assumimos uma solução do tipo y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação obtém-se a equação característica
r^{2}-2r+5=0.
Essa é uma equação quadrática para r. Vou resolver para r.

Passo 3

Resolver a equação quadrática \,r^{2}-2r+5=0.\quad Usando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}.
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas:
r=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas \,r=\alpha\pm i\beta, a solução geral real da ED é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui \alpha=1 e \beta=2, portanto a solução geral é
y(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big).
Breve explicação intuitiva: as soluções e^{(1+2i)t} e e^{(1-2i)t} combinam-se (pela fórmula de Euler) em funções reais multiplicadas por e^{t}, produzindo combinações de \cos(2t) e \sin(2t).

Passo 5

Calcular y'(t) de forma explícita (vamos precisar aplicar a condição sobre y'). Partindo de
y(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big),
usamos a regra do produto e as derivadas trigonométricas:
  • \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}.
  • \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t).
  • \dfrac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t).
Aplicando a regra do produto:
y'(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big) +e^{t}\big(-2C_{1}\sin(2t)+2C_{2}\cos(2t)\big).
Fatorando e^{t}:
y'(t)=e^{t}\Big(C_{1}\big(\cos(2t)-2\sin(2t)\big)+C_{2}\big(\sin(2t)+2\cos(2t)\big)\Big).

Passo 6

Aplicar a condição inicial y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0. Primeiro, calcule os valores trigonométricos em t=\dfrac{\pi}{2}:
2t\Big|_{t=\pi/2}=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi,\qquad \cos(\pi)=-1,\quad \sin(\pi)=0.
Substituindo em y(t):
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\big(C_{1}\cos\pi + C_{2}\sin\pi\big)=e^{\pi/2}\big(C_{1}(-1)+C_{2}\cdot 0\big)=-C_{1}e^{\pi/2}.
Como y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, segue que
-C_{1}e^{\pi/2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{1}=0.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2. Usar a expressão de y'(t) e os mesmos valores trigonométricos em t=\dfrac{\pi}{2}. Com C_{1}=0 temos:
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\Big(0\cdot(\cos\pi-2\sin\pi)+C_{2}\big(\sin\pi+2\cos\pi\big)\Big) = e^{\pi/2}\,C_{2}\big(0+2\cdot(-1)\big).
Portanto
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\,C_{2}\,(-2)=-2C_{2}e^{\pi/2}.
Como essa derivada deve ser igual a 2, obtemos
-2C_{2}e^{\pi/2}=2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\frac{1}{e^{\pi/2}}=-e^{-\pi/2}.

Passo 8

Concluímos os valores das constantes:
C_{1}=0,\qquad C_{2}=-e^{-\pi/2}.
A solução geral com essas constantes substituídas leva à solução particular que satisfaz ambas as condições iniciais. (A substituição final e a forma simplificada da solução serão apresentadas na seção de resposta.)

Resposta

y(t)=-e^{t-\pi/2}\sin(2t)

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