A equação diferencial é homogênea e linear com coeficientes constantes.
As condições iniciais são dadas em t_0=\dfrac{\pi}{2}: o valor de y e de y' nesse ponto.
O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.]
Passo 2
Transformar a equação diferencial em sua equação característica (método padrão para EDs lineares com coeficientes constantes). Para uma equação homogênea de segunda ordem
y''-2y'+5y=0,
assumimos uma solução do tipo y(t)=e^{rt}. Substituindo na equação obtém-se a equação característica
r^{2}-2r+5=0.
Essa é uma equação quadrática para r. Vou resolver para r.
Passo 3
Resolver a equação quadrática \,r^{2}-2r+5=0.\quad Usando a fórmula de Bhaskara:
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui \alpha=1 e \beta=2, portanto a solução geral é
y(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big).
Breve explicação intuitiva: as soluções e^{(1+2i)t} e e^{(1-2i)t} combinam-se (pela fórmula de Euler) em funções reais multiplicadas por e^{t}, produzindo combinações de \cos(2t) e \sin(2t).
Passo 5
Calcular y'(t) de forma explícita (vamos precisar aplicar a condição sobre y'). Partindo de
y(t)=e^{t}\big(C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t)\big),
usamos a regra do produto e as derivadas trigonométricas:
Aplicar a condição inicial y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2. Usar a expressão de y'(t) e os mesmos valores trigonométricos em t=\dfrac{\pi}{2}. Com C_{1}=0 temos:
A solução geral com essas constantes substituídas leva à solução particular que satisfaz ambas as condições iniciais. (A substituição final e a forma simplificada da solução serão apresentadas na seção de resposta.)