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Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A integranda é
.
O objetivo é encontrar uma funçãotal que , mais uma constante de integração.
Passo 2
Vamos simplificar a integranda usando identidades trigonométricas básicas (passo importante para tornar a integral direta). Duas identidades úteis:
Explicando rápido:
é a identidade de ângulo duplo para cosseno ao quadrado;
vem da identidade
. Aplicando-as:
Somando essas expressões obtemos a forma mais simples da integranda:
Portanto a integral vira
Passo 3
Integramos termo a termo. Primeiro termo:
.
Regra usada: para constante
. Aqui
, portanto
Regra usada:
Explicação: a derivada de
é
, então
é uma primitiva de
.
Passo 4
Segundo termo:
.
Método: substituição simples. Seja . Então
ou
. Assim
Método: substituição simples. Seja
Voltando a
:
.
Observação alternativa útil na prova: (identidade do seno do ângulo duplo).
Observação alternativa útil na prova:
Passo 5
Terceiro termo:
.
Fato usado: a derivada da função é
, isto é,
. Logo
Fato usado: a derivada da função
Multiplicando por
,
Explicação: integrar é “achar a função cuja derivada é o integrando”; como a derivada de
é
, a primitiva de
é
.
Passo 6
Agora somamos as primitivas parciais (e agrupamos as constantes de integração numa única constante
). A primitiva geral da integranda é a soma das primitivas dos termos, com
final. Não esquecer de coletar constantes em apenas uma.