(0) \int\left(2 \cos ^{2} x-3 \operatorname{tg}^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integral indefinida)
\int\left(2\cos^{2}x-3\tan^{2}x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A integranda é 2\cos^{2}x-3\tan^{2}x.
    O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=2\cos^{2}x-3\tan^{2}x, mais uma constante de integração.

Passo 2

Vamos simplificar a integranda usando identidades trigonométricas básicas (passo importante para tornar a integral direta). Duas identidades úteis:
\cos^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1.
Explicando rápido: \cos^{2}x=\tfrac{1+\cos2x}{2} é a identidade de ângulo duplo para cosseno ao quadrado; \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 vem da identidade 1+\tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x. Aplicando-as:
2\cos^{2}x = 2\cdot\frac{1+\cos2x}{2}=1+\cos2x,
-3\tan^{2}x = -3(\operatorname{sec}^{2}x-1) = -3\operatorname{sec}^{2}x+3.
Somando essas expressões obtemos a forma mais simples da integranda:
2\cos^{2}x-3\tan^{2}x = (1+\cos2x)+(-3\operatorname{sec}^{2}x+3)=4+\cos2x-3\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto a integral vira
\int\left(2\cos^{2}x-3\tan^{2}x\right)\,dx = \int\left(4+\cos2x-3\operatorname{sec}^{2}x\right)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo. Primeiro termo: \displaystyle\int 4\,dx.
Regra usada: \displaystyle\int a\,dx = a x para constante a. Aqui a=4, portanto
\int 4\,dx = 4x.
Explicação: a derivada de 4x é 4, então 4x é uma primitiva de 4.

Passo 4

Segundo termo: \displaystyle\int \cos2x\,dx.
Método: substituição simples. Seja u=2x. Então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \cos2x\,dx = \int \cos u\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin u + C.
Voltando a x: \displaystyle\int \cos2x\,dx = \frac{1}{2}\sin2x.
Observação alternativa útil na prova: \frac{1}{2}\sin2x = \sin x\cos x (identidade do seno do ângulo duplo).

Passo 5

Terceiro termo: \displaystyle\int -3\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Fato usado: a derivada da função \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, isto é, \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x. Logo
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.
Multiplicando por -3,
\int -3\operatorname{sec}^{2}x\,dx = -3\tan x.
Explicação: integrar é “achar a função cuja derivada é o integrando”; como a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, a primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x.

Passo 6

Agora somamos as primitivas parciais (e agrupamos as constantes de integração numa única constante C). A primitiva geral da integranda é a soma das primitivas dos termos, com +C final. Não esquecer de coletar constantes em apenas uma.

Resposta

4x+\frac{1}{2}\sin2x-3\tan x+C

Exercícios relacionados