Determine a solução do PVI dado e descreva o comportamento da solução quando
nos seguintes casos:
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI)
e (ii) descrever o comportamento da solução quando
.
Informações dadas:
- Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de
: . - Condições iniciais no ponto
: e . - Observação importante usada depois: a equação está definida para
(pois há fatores e ).
Passo 2
Escolhemos uma tentativa padrão para equações do tipo com potências de
: procurar soluções da forma
, com
(complexo, se necessário) a determinar. Isso é útil pois, se
, derivadas são fáceis de calcular e permitem reduzir a EDO a uma equação algébrica para
.
Calcule as derivadas para
(válido para
):
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação:
Fatorando
(que é não-nulo para
) obtém-se a equação característica em
:
Desenvolvendo:
Passo 4
Resolver a quadrática
. O discriminante é
logo as raízes são complexas conjugadas. Calcula-se:
Escrevendo
obtemos
Passo 5
Quando as raízes são
com
, uma base real de soluções para
é dada por
Explicação curta do porquê:
. Para garantir solução real válida tanto para
quanto para
usa-se
e a combinação linear real das partes real e imaginária gera
. Assim a solução geral real é
com
e
.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
.
Primeiro, avalia-se em
. Note que
e
. Portanto
Como
, temos
Passo 7
Agora precisamos de
para impor
. Diferenciando a forma geral (usando que
e
para
):
Primeiro escrevemos
com
e
. Então
Calculando cada termo:
Portanto, reunindo:
Passo 8
Avaliar
. Em
temos
,
,
,
, e
. Assim
A condição
dá
Substituindo
e
:
Lembrando
, obtemos
Passo 9
Agora escrevemos a solução particular com os constantes encontrados:
Essa fórmula vale para
e em particular é válida no intervalo que contém
.
Passo 10
Comportamento quando
: como
quando
e os fatores trigonométricos
e
são limitados entre
e
, o produto tende para zero. Além disso, devido ao fator
nos argumentos trigonométricos, a solução oscila infinitamente vezes quando
se aproxima de
(frequência crescente em escala logarítmica), mas essa oscilação tem amplitude que decai como
. Portanto
quando
, com decaimento pelo fator
e oscilações cada vez mais rápidas em
.
Resposta
Quando