Determine a solução do PVI dado e descreva o comportamento da solução quando x \rightarrow 0 nos seguintes casos:
2 x^{2} y^{\prime \prime}(x)-3 x y^{\prime}(x)+4 y(x)=0, y(-1)=2, y^{\prime}(-1)=3;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar a solução do problema de valor inicial (PVI)
2x^{2}y''(x)-3x y'(x)+4y(x)=0,\qquad y(-1)=2,\qquad y'(-1)=3,
e (ii) descrever o comportamento da solução quando x\to 0.
Informações dadas:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes dependentes de x: 2x^{2}y''-3x y'+4y=0.
  • Condições iniciais no ponto x=-1: y(-1)=2 e y'(-1)=3.
  • Observação importante usada depois: a equação está definida para x\neq 0 (pois há fatores x e x^{2}).

Passo 2

Escolhemos uma tentativa padrão para equações do tipo com potências de x: procurar soluções da forma y(x)=x^{r}, com r (complexo, se necessário) a determinar. Isso é útil pois, se y=x^{r}, derivadas são fáceis de calcular e permitem reduzir a EDO a uma equação algébrica para r.
Calcule as derivadas para y(x)=x^{r} (válido para x\neq0):
y'(x)=r x^{r-1},\qquad y''(x)=r(r-1)x^{r-2}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação:
2x^{2}\big(r(r-1)x^{r-2}\big)-3x\big(r x^{r-1}\big)+4 x^{r}=0.
Fatorando x^{r} (que é não-nulo para x\neq0) obtém-se a equação característica em r:
2r(r-1)-3r+4=0.
Desenvolvendo:
2r^{2}-2r-3r+4=2r^{2}-5r+4=0.

Passo 4

Resolver a quadrática 2r^{2}-5r+4=0. O discriminante é
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot2\cdot4=25-32=-7<0,
logo as raízes são complexas conjugadas. Calcula-se:
r=\frac{5\pm i\sqrt{7}}{4}.
Escrevendo r=\alpha\pm i\beta obtemos
\alpha=\frac{5}{4},\qquad \beta=\frac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 5

Quando as raízes são r=\alpha\pm i\beta com \beta\neq0, uma base real de soluções para x\neq0 é dada por
y_{1}(x)=|x|^{\alpha}\cos\!\big(\beta\ln|x|\big),\qquad y_{2}(x)=|x|^{\alpha}\sin\!\big(\beta\ln|x|\big).
Explicação curta do porquê: x^{r}=e^{r\ln x}. Para garantir solução real válida tanto para x>0 quanto para x<0 usa-se \ln|x| e a combinação linear real das partes real e imaginária gera y_{1},y_{2}. Assim a solução geral real é
y(x)=|x|^{\alpha}\big(C_{1}\cos(\beta\ln|x|)+C_{2}\sin(\beta\ln|x|)\big),
com \alpha=\tfrac{5}{4} e \beta=\tfrac{\sqrt{7}}{4}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1},C_{2}.
Primeiro, avalia-se em x=-1. Note que |-1|=1 e \ln| -1|=0. Portanto
y(-1)=1^{\alpha}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}.
Como y(-1)=2, temos
C_{1}=2.

Passo 7

Agora precisamos de y'(x) para impor y'(-1)=3. Diferenciando a forma geral (usando que \tfrac{d}{dx}\ln|x|=1/x e \tfrac{d}{dx}|x|^{\alpha}= \alpha |x|^{\alpha}\cdot\frac{1}{x} para x\neq0):
Primeiro escrevemos y(x)=|x|^{\alpha}U(\ln|x|) com U(t)=C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t) e t=\ln|x|. Então
y'(x)=\frac{d}{dx}\big(|x|^{\alpha}\big)\,U(t)+|x|^{\alpha}\,U'(t)\cdot\frac{dt}{dx}.
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}\big(|x|^{\alpha}\big)=\alpha |x|^{\alpha}\cdot\frac{1}{x}, \qquad U'(t)=-\beta C_{1}\sin(\beta t)+\beta C_{2}\cos(\beta t), \qquad \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}.
Portanto, reunindo:
y'(x)=|x|^{\alpha}\frac{1}{x}\Big[\alpha\big(C_{1}\cos(\beta\ln|x|)+C_{2}\sin(\beta\ln|x|)\big) +\beta\big(-C_{1}\sin(\beta\ln|x|)+C_{2}\cos(\beta\ln|x|)\big)\Big].

Passo 8

Avaliar y'(-1). Em x=-1 temos |x|^{\alpha}=1, \ln|x|=0, \cos0=1, \sin0=0, e 1/x=-1. Assim
y'(-1)=-\big[\alpha(C_{1}\cdot1 + C_{2}\cdot0)+\beta(-C_{1}\cdot0 + C_{2}\cdot1)\big] = -\big(\alpha C_{1}+\beta C_{2}\big).
A condição y'(-1)=3
-\big(\alpha C_{1}+\beta C_{2}\big)=3 \quad\Longrightarrow\quad \alpha C_{1}+\beta C_{2}=-3.
Substituindo \alpha=\tfrac{5}{4} e C_{1}=2:
\frac{5}{4}\cdot 2 + \beta C_{2}=-3 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}+\beta C_{2}=-3 \quad\Rightarrow\quad \beta C_{2}=-\frac{11}{2}.
Lembrando \beta=\tfrac{\sqrt{7}}{4}, obtemos
C_{2}=\frac{-\tfrac{11}{2}}{\tfrac{\sqrt{7}}{4}} =-\frac{11}{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{7}} =-\frac{44}{2\sqrt{7}} =-\frac{22}{\sqrt{7}}.

Passo 9

Agora escrevemos a solução particular com os constantes encontrados:
y(x)=|x|^{5/4}\left(2\cos\!\Big(\frac{\sqrt{7}}{4}\ln|x|\Big)-\frac{22}{\sqrt{7}}\sin\!\Big(\frac{\sqrt{7}}{4}\ln|x|\Big)\right).
Essa fórmula vale para x\neq0 e em particular é válida no intervalo que contém x=-1.

Passo 10

Comportamento quando x\to 0: como |x|^{5/4}\to 0 quando x\to 0 e os fatores trigonométricos \cos e \sin são limitados entre -1 e 1, o produto tende para zero. Além disso, devido ao fator \ln|x| nos argumentos trigonométricos, a solução oscila infinitamente vezes quando x se aproxima de 0 (frequência crescente em escala logarítmica), mas essa oscilação tem amplitude que decai como |x|^{5/4}. Portanto y(x)\to 0 quando x\to 0, com decaimento pelo fator |x|^{5/4} e oscilações cada vez mais rápidas em \ln|x|.

Resposta

y(x)=|x|^{5/4}\displaystyle\left(2\cos\!\Big(\frac{\sqrt{7}}{4}\ln|x|\Big)-\frac{22}{\sqrt{7}}\sin\!\Big(\frac{\sqrt{7}}{4}\ln|x|\Big)\right)\n
Quando x\to 0: y(x)\to 0 (decai como |x|^{5/4} enquanto apresenta oscilações de amplitude decrescente).

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