Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
y^prime prime-3 y^prime=3 x^2+4 x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''-3y'=3x^2+4x-1,
com condições y(0)=1 e y'(0)=2, usando o método da Transformada de Laplace. Vamos precisar conhecer as fórmulas
Ly'=sY(s)-y(0) e Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), além de Lx^n=n!/s^n+1.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''-3y'=3x^2+4x-1
No lado esquerdo temos
Ly''-3Ly' =l(s^2Y(s)-scdot1-2r) -3l(sY(s)-1r)
No lado direito usamos
L3x^2+4x-1 =3cdot2s^3+4cdot1s^2-1s =6s^3+4s^2-1s

Passo 3

Reunindo termos em Y(s):
s^2Y(s)-s-2-3sY(s)+3 =6s^3+4s^2-1s
Como -s-2+3=-s+1, fica
(s^2-3s),Y(s)-s+1 =6s^3+4s^2-1s
Isolando Y(s):
Y(s) = 6s^3+4s^2-1s+s-1 s(s-3)

Passo 4

Para inverter, fazemos a decomposição em frações parciais. Escrevemos
Y(s) =s^4 - s^3 - s^2 +4s +6s^4,(s-3) =A1s+B1s^2+C1s^3+D1s^4+E1s-3
Calibrando coeficientes encontramos
A=tfrac29, B=-tfrac13, C=-2, D=-2, E=tfrac79
Logo
Y(s) =29,1s -13,1s^2 -2,1s^3 -2,1s^4 +79,1s-3

Passo 5

Invertemos termo a termo usando
L^-11/s=1,
L^-11/s^2=x,
L^-11/s^3=x^2/2,
L^-11/s^4=x^3/6,
L^-11/(s-3)=e^3x.
Isso dá
y(x) =29 -13x -2cdotx^22 -2cdotx^36 +79e^3x
Simplificando
y(x) =79e^3x +29 -13x -x^2 -13x^3

Resposta

y(x) =79e^3x +29 -13x -x^2 -13x^3

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