Questão 03. Considere a função
f(x)= 2 x^3+x^2+1x^3+1, & se x neq-1 5 L-2, & se x=-1
Determine o valor de L para que f seja contínua em x = -1.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)= 2x^3+x^2+1x^3+1, & xneq -1, 5L-2, & x=-1,
e queremos o valor de L para que f seja contínua em x=-1. O conteúdo principal é continuidade de função em ponto; para isso precisamos que
limxto -1f(x)=f(-1)

Passo 2

Cálculo do limite à esquerda (que coincide com o da direita) em x=-1. Note que ao substituir x=-1 em 2x^3+x^2+1x^3+1 obtemos 0/0, então fatoramos numerador e denominador:
x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),
e pela divisão sintética ou fatoração direta,
2x^3+x^2+1=(x+1)(2x^2-x+1)
Logo, para xneq -1,
f(x)=2x^3+x^2+1x^3+1 =(x+1)(2x^2-x+1)(x+1)(x^2-x+1) =2x^2-x+1x^2-x+1

Passo 3

Avaliação do limite simplificado em x=-1:
limxto -1f(x) =2(-1)^2-(-1)+1(-1)^2-(-1)+1 =2cdot1+1+11+1+1 =43

Passo 4

Para continuidade em x=-1 precisamos
f(-1)=5L-2=limxto -1f(x)=43
Assim,
5L-2=43 Longrightarrow 5L=43+2=103 Longrightarrow L=23

Resposta

L=tfrac23

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