Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
y^prime prime-4 y^prime+4 y=x e^4 x

Passo 1

No enunciado, temos o problema de valor inicial (PVI)
y''-4y'+4y = x,e^4x, y(0)=1,;y'(0)=2
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO num problema algébrico em s.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0),
onde Y(s)=Ly(x). Assim
l[s^2Y(s)-scdot1-2r] -4l[sY(s)-1r] +4Y(s) = Lx e^4x

Passo 3

No lado direito usamos
Lx e^4x = 1(s-4)^2
Reunindo termos em Y(s):
s^2Y -s-2 -4sY+4 +4Y = 1(s-4)^2 ;Longrightarrow; Y(s),(s^2-4s+4) = 1(s-4)^2 + (s-2)
Como s^2-4s+4=(s-2)^2, obtemos
Y(s) = 1(s-2)^2,(s-4)^2 ;+;s-2(s-2)^2 = 1(s-2)^2,(s-4)^2 ;+;1s-2

Passo 4

Para inverter a transformada, separamos
Y(s) = 1s-2 ;+;1(s-2)^2,(s-4)^2
A primeira parcela já sabemos inverter: L^-1!tfrac1s-2=e^2x
Para a segunda, fazemos frações parciais:
1(s-2)^2(s-4)^2 = As-2 + B(s-2)^2 + Cs-4 + D(s-4)^2

Passo 5

Determinando A,B,C,D (por valores de s e comparação de coeficientes) chega-se a
A=tfrac14,;B=tfrac14,;C=-tfrac14,;D=tfrac14,
isto é
1(s-2)^2(s-4)^2 = 1/4s-2 + 1/4(s-2)^2 - 1/4s-4 + 1/4(s-4)^2

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1!ltfrac1s-2r=e^2x, L^-1!ltfrac1(s-2)^2r=x,e^2x,
L^-1!ltfrac1s-4r=e^4x, L^-1!ltfrac1(s-4)^2r=x,e^4x
Somando tudo:
y(x) = e^2x + tfrac14l[e^2x + x,e^2x - e^4x + x,e^4xr]
Agrupando termos, fica

Resposta

y(x) = 5+x4,e^2x ;+;x-14,e^4x

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