Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere
e
.
Passo 1
No enunciado, temos o problema de valor inicial (PVI)
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçado. Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO num problema algébrico em
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo, lembrando
onde
. Assim
Passo 3
No lado direito usamos
Reunindo termos em
:
Como
, obtemos
Passo 4
Para inverter a transformada, separamos
A primeira parcela já sabemos inverter:
Para a segunda, fazemos frações parciais:
Para a segunda, fazemos frações parciais:
Passo 5
Determinando
(por valores de
e comparação de coeficientes) chega-se a
isto é
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
Somando tudo:
Agrupando termos, fica