Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+y=0 ; y(pi)=0, y^prime(pi)=-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + y = 0
com condições iniciais em t=pi:
y(pi)=0, y'(pi)=-1
O conteúdo é resolver uma EDO linear de segunda ordem pelo método da transformada de Laplace. Como as condições estão em t=pi, vamos primeiro fazer uma mudança de variável para trazê-las a t=0.

Passo 2

Definimos
tau = t - pi, Y(tau)=y(tau+pi)
Então a EDO fica
Y''(tau)+Y(tau)=0
com condições iniciais em tau=0:
Y(0)=y(pi)=0, Y'(0)=y'(pi)=-1

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace (em tau) na equação Y''+Y=0, usando
LY''=s^2Y(s)-sY(0)-Y'(0) e LY=Y(s), obtemos
l(s^2Y(s)-scdot 0 -(-1)r) + Y(s) = 0 Longrightarrow (s^2+1)Y(s) + 1 = 0

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s) = -1s^2+1

Passo 5

Fazendo a transformada inversa e lembrando que
L^-1tfrac1s^2+1=sintau, vem
Y(tau) = -sintau

Passo 6

Voltando à variável original t=tau+pi:
y(t)=Y(t-pi)=-sinl(t-pir)
Como sin(t-pi)= -sin t, chega-se a
y(t)=sin t

Resposta

y(t)=sin t

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