Prove a existência do limite e a continuidade das funções
f(x)= -2, & x<0 2, & x >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= -2, & x<0, 2, & x>=0,
e pede para provar a existência do limite de f em cada ponto x0 e estudar a continuidade. Vamos usar a definição varepsilon - de<a de limite e lembrar que f é contínua em x0 quando
limxto x0f(x)=f(x0)

Passo 2

Seja x0<0. Então f(x0)=-2. Queremos mostrar que
limxto x0f(x)=-2
Dado varepsilon>0, basta escolher de<a tal que os x com lvert x-x0rvert<de<a permaneçam negativos, ou seja, tomar
de<a=minl,|x0|,;1,r
Assim, se lvert x-x0rvert<de<a então x<0, logo f(x)=-2 e
lvert f(x)-(-2)rvert =lvert -2+2rvert =0<varepsilon
Isso prova limxto x0f(x)=-2.

Passo 3

Seja x0>0. Agora f(x0)=2. De modo análogo, dado varepsilon>0 escolhemos
de<a=min,x0,;1,,
de forma que lvert x-x0rvert<de<a implique x>0 e, portanto, f(x)=2. Logo
lvert f(x)-2rvert =lvert 2-2rvert =0<varepsilon,
o que mostra limxto x0f(x)=2.

Passo 4

No ponto x0=0 examinamos os limites laterais:
limxto0^-f(x)=-2 e limxto0^+f(x)=2
Como esses dois valores são diferentes, não existe limxto0f(x). Contudo, os limites laterais existem e são os indicados.

Passo 5

Agora a continuidade em cada ponto x0:
  • Se x0<0, vimos que limxto x0f(x)=-2=f(x0), logo f é contínua em x0.
  • Se x0>0, limxto x0f(x)=2=f(x0), logo é contínua também.
  • Em x0=0, não existe limxto0f(x), portanto f não é contínua em 0.

Resposta

A função f tem limite igual a -2 em todo ponto x0<0 e igual a 2 em todo ponto x0>0; em x0=0 o limite não existe. Consequentemente, f é contínua em Rsetminus0 e descontinua em x=0.

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