Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^(4)-y=0 ; y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=0, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método das transformadas de Laplace, a equação diferencial
y^(4)-y=0
sujeita às condições iniciais
y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=0, y'''(0)=0
O conteúdo principal aqui é aplicar a transformada de Laplace a cada termo da EDO, usar as condições iniciais para obter Y(s) no domínio de s, e então fazer frações parciais para voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace de cada termo. Se Y(s)=Ly(t)(s), então
Ly^(4)(s) = s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s,y''(0)-y'''(0) = s^4Y(s)-s^3,
e
L-y(s)=-Y(s)
Substituindo na EDO transformada, obtemos
s^4Y(s)-s^3 - Y(s)=0

Passo 3

Isolando Y(s), vem
Y(s)l(s^4-1r)=s^3 Longrightarrow Y(s)=s^3s^4-1

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais de
s^3(s-1)(s+1)(s^2+1) =As-1+Bs+1+Cs+Ds^2+1
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+1)(s^2+1) e igualando coeficientes, encontra-se
A=B=tfrac14, C=tfrac12, D=0
Logo
Y(s) =1/4s-1+1/4s+1+tfrac12,ss^2+1

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada parcela:
L^-1!ltfrac14(s-1)r(t) =tfrac14e^t, L^-1!ltfrac14(s+1)r(t) =tfrac14e^-t, L^-1!ltfractfrac12,ss^2+1r(t) =tfrac12cos t
Somando esses termos, obtemos
y(t)=e^t+e^-t4+12cos t
Reconhecendo cosh t=(e^t+e^-t)/2, podemos escrever de forma mais compacta:
y(t)=12l(cosh t+cos tr)

Resposta

y(t)=12l(cosh t+cos tr)

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