Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método das transformadas de Laplace, a equação diferencial
sujeita às condições iniciais
O conteúdo principal aqui é aplicar a transformada de Laplace a cada termo da EDO, usar as condições iniciais para obter
no domínio de
, e então fazer frações parciais para voltar ao domínio do tempo.
Passo 2
Tomamos a transformada de Laplace de cada termo. Se
, então
e
Substituindo na EDO transformada, obtemos
Passo 3
Isolando
, vem
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais de
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, encontra-se
Logo
Passo 5
Aplicando a transformada inversa em cada parcela:
Somando esses termos, obtemos
Reconhecendo
, podemos escrever de forma mais compacta: