Prove a existência do limite e a continuidade das funções
f(x)= 2 x+3, & x<1 x^2+2, & x >= 1

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 2x+3, & x<1, x^2+2, & x>=1
O conteúdo aqui é análise de limites e continuidade de uma função definida por partes. Vamos usar que polinômios são contínuos e calcular os limites laterais em x0=1.

Passo 2

Cada ramo é um polinômio:
g(x)=2x+3, h(x)=x^2+2
Como todo polinômio é contínuo em R, segue que para qualquer a<1 temos
limxto af(x)=2a+3=f(a),
e para qualquer a>1
limxto af(x)=a^2+2=f(a)
Portanto f é contínua em (-infty,1)cup(1,infty).

Passo 3

Para estudar a existência do limite em xto1, calculamos os limites laterais:
limxto1^-f(x) =limxto1^-(2x+3) =2cdot1+3 =5,
limxto1^+f(x) =limxto1^+(x^2+2) =1^2+2 =3

Passo 4

Como
limxto1^-f(x)=5neq3=limxto1^+f(x),
o limite limxto1f(x) não existe. Logo f não é contínua em x=1.

Resposta

A função f é contínua em todo ponto de (-infty,1)cup(1,infty) e descontinua em x=1, pois aí o limite não existe.

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