Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
y "-y=cos ^2(x)

Passo 1

O problema é um PVI de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y=cos^2(x), y(0)=1,;y'(0)=2,
e pede solução por transformada de Laplace. Vamos usar
1. as fórmulas
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Ly=Y(s),
2. a identidade cos^2x=(1+cos2x)/2,
3. técnicas de fração parcial e transformada inversa.

Passo 2

Aplicando L em ambos os lados obtemos
l(s^2Y(s)-scdot1-2r);-;Y(s);=; Lcos^2x
Agrupando em Y(s)
(s^2-1),Y(s);-;(s+2);=; Lcos^2x

Passo 3

Usando cos^2x=tfrac12+tfrac12cos2x e tabelas,
Lcos^2x =tfrac12cdot1s;+;tfrac12cdotss^2+4 =s^2+22,s,(s^2+4)

Passo 4

Substituindo na equação algébrica e isolando Y(s):
(s^2-1)Y(s)=s+2+s^2+22,s,(s^2+4), Y(s) =s+2s^2-1 +s^2+22,s,(s^2+4),(s^2-1)

Passo 5

Fazendo frações parciais completas em Y(s) chega-se a
Y(s) = 9/5s-1 - 1/5s+1 - 1/2s - 110,ss^2+4

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
  • 9/5s-1longrightarrow 95e^x,
  • -1/5s+1longrightarrow -15e^-x,
  • -1/2slongrightarrow -12,
  • -110ss^2+4longrightarrow -110cos(2x)
Somando tudo, a solução é

Resposta

boxed y(x)=95e^x-15e^-x-12-110cos(2x)

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