Questão 07. Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais da função
Este é um caso clássico de função racional, então vamos precisar:
- fatorar numerador e denominador;
- verificar cancelamentos (para identificar buracos no gráfico);
- achar zeros do denominador restante (assíntotas verticais);
- comparar graus de numerador e denominador para a assíntota horizontal.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador por agrupamento:
Então
para todo
. Isso mostra que em
há um ponto de descontinuidade removível (buraco), não assíntota.
Passo 3
O denominador da forma simplificada é
. As raízes são
Nestes pontos o denominador zera enquanto o numerador
vale
. Portanto temos assíntotas verticais em
Passo 4
Para encontrar a assíntota horizontal, comparamos os graus de numerador e denominador na forma simplificada
. Ambos têm grau 2, então
Logo há uma assíntota horizontal
Resposta
Assíntotas verticais:
e
.
Assíntota horizontal: .
Assíntota horizontal: