Questão 07. Determine, se existirem, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
f(x)=2 x^3-2 x^2+3 x-3(x^2-4)(x-1)
Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as assíntotas verticais e horizontais da função
f(x)=2 x^3-2 x^2+3 x-3l(x^2-4r)(x-1)
Este é um caso clássico de função racional, então vamos precisar:
  1. fatorar numerador e denominador;
  2. verificar cancelamentos (para identificar buracos no gráfico);
  3. achar zeros do denominador restante (assíntotas verticais);
  4. comparar graus de numerador e denominador para a assíntota horizontal.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador por agrupamento:
2x^3-2x^2+3x-3 = 2x^2(x-1) + 3(x-1) = (x-1)l(2x^2+3r)
Então
f(x) = (x-1)l(2x^2+3r)(x-1),(x^2-4) = 2x^2+3x^2-4,
para todo xneq1. Isso mostra que em x=1 há um ponto de descontinuidade removível (buraco), não assíntota.

Passo 3

O denominador da forma simplificada é x^2-4=(x-2)(x+2). As raízes são
x=2e x=-2
Nestes pontos o denominador zera enquanto o numerador 2x^2+3 vale 2cdot4+3=11neq0. Portanto temos assíntotas verticais em
x=2 e x=-2

Passo 4

Para encontrar a assíntota horizontal, comparamos os graus de numerador e denominador na forma simplificada 2x^2+3x^2-4. Ambos têm grau 2, então
limxtopminftyf(x) = coeficiente de x^2 no numerador coeficiente de x^2 no denominador = 21=2
Logo há uma assíntota horizontal
y=2

Resposta

Assíntotas verticais: x=-2 e x=2.
Assíntota horizontal: y=2.

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