Determine a solução do PVI utilizando o método da Transformada de Laplace, considere y(0)=1 e y^prime(0)=2.
y^prime prime-4 y=e^2 xx

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y''-4y=e^2xx, y(0)=1,;y'(0)=2
usando transformada de Laplace. Vamos chamar de Y(s)= Ly(x) e usar que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0) e Le^2x/x=-ln(s-2) para Re(s)>2.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados de
y''-4y=e^2xx,
temos
s^2Y(s)-scdot1-2;-;4Y(s);=;-,ln(s-2)
Agrupando Y(s),
(s^2-4),Y(s)=s+2-ln(s-2),
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Y(s)=s+2s^2-4;-;ln(s-2)s^2-4

Passo 3

Separemos Y(s) em duas parcelas:
Y(s)=underbraces+2s^2-4Y1(s);-;underbraceln(s-2)s^2-4Y2(s)
Para a primeira parcela reconhecemos transformadas conhecidas:
L^-1lss^2-4r=cosh(2x), L^-1l2s^2-4r=sinh(2x),
de onde
L^-1Y1(s) =cosh(2x)+sinh(2x)=e^2x

Passo 4

Para a segunda parcela usamos o teorema da convolução. Primeiro notamos que
L^-1ln(s-2) =-,e^2xx, L^-1l1s^2-4r =12,sinh(2x)
Pelo teorema da convolução,
L^-1Y2(s) =integral0^xl(tfrac12,sinhl(2(x-t)r)r) l(-e^2ttr),dt =-12integral0^xsinhl(2(x-t)r)e^2tt,dt

Passo 5

Com isso a solução y(x)= L^-1Y(s) fica
y(x) =e^2x ;-;l(-12integral0^xsinhl(2(x-t)r)e^2tt,dtr) =e^2x+12integral0^xsinhl(2(x-t)r)e^2tt,dt

Resposta

boxed,y(x)=e^2x+12integral0^xsinhl(2(x-t)r),e^2tt,dt

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