Determine uma solução que satisfaça a condição inicial dada.
(a) d yd x=x+2 y1-2 x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da equação diferencial de primeira ordem
dydx=x+2y1-2x,
sujeita à condição inicial y(1)=1.
O tipo de equação é linear em y, pois pode ser escrita na forma
dydx+P(x),y=Q(x)

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, divido tudo por 1-2x:
dydx-21-2x,y=x1-2x
Aqui P(x)=-tfrac21-2x e Q(x)=tfracx1-2x.

Passo 3

Calculo o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral -21-2x,dxr)
Fazendo u=1-2x, du=-2,dx, obtemos
integral -21-2x,dx =-integral2ul(-du2r) =integral1u,du =ln|u| =ln|1-2x|
Logo
mu(x)=e^ln|1-2x|=1-2x

Passo 4

Multiplico a equação original por mu(x):
(1-2x)dydx-2,y =;x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (1-2x)y, pois
ddxl[(1-2x)yr] =(1-2x)dydx-2y
Portanto
ddxl[(1-2x)yr]=x
Integro em relação a x:
(1-2x)y=integral x,dx=x^22+C

Passo 5

Isolo y:
y=x^22+C1-2x
Para determinar C, uso y(1)=1:
1=1^22+C1-2cdot1 =tfrac12+C-1 Longrightarrow -!1=tfrac12+C Longrightarrow C=-tfrac32
Substituindo C em y resulta
y=x^22-321-2x =x^2-32(1-2x)

Resposta

y(x)=x^2-32(1-2x)

Exercícios relacionados