Determine the type of curve represented by the equation
x^2k+y^2k-16=1
in each of the following cases:
k<0

Passo 1

O enunciado pede para classificar o lugar geométrico dado por
x^2k+y^2k-16=1
quando k<0. Estamos no tópico de classificação de cônicas em forma reduzida:
  • se os denominadores têm o mesmo sinal positivo, temos uma elipse real;
  • se têm sinais opostos, temos uma hipérbole;
  • se têm o mesmo sinal negativo, não há pontos reais (elipse imaginária).

Passo 2

Para k<0 temos
k<0 e k-16<0
pois subtrair 16 de um número negativo só deixa mais negativo. Logo os dois denominadores
,k e ,k-16 são negativos.

Passo 3

Como ambos os denominadores são negativos, cada termo
tfracx^2k e tfracy^2k-16 vale <=0 para x,y reais, e sua soma não pode chegar a 1.
Isso significa que não existem pontos reais que satisfaçam a equação: trata-se de uma elipse imaginária (ou vazia no plano real).

Resposta

Para k<0 a curva é uma elipse imaginária (não há pontos reais).

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