- Show that if an ellipse and a hyperbola have the same foci, then their tangent lines at each point of intersection are perpendicular.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma elipse e uma hipérbole que têm os mesmos focos são ortogonais, isto é, nas interseções as tangentes são perpendiculares. O conteúdo usado será a forma de distância aos focos e diferenciação implícita para obter as inclinações das retas tangentes.
Passo 2
Colocamos os focos em
. Denotemos
A elipse com semi-eixo maior
satisfaz
e a hipérbole com parâmetro
satisfaz
Passo 3
Diferenciando implicitamente a equação da elipse
em relação a
, obtemos
Isolando
, vem
Passo 4
Diferenciando agora
, achamos
logo
Passo 5
Para verificar que
, note que as frações se reduzem a
onde
,
. O produto dá
Substituindo
e
mostra-se que o numerador é
e o denominador é
, resultando em
.
Resposta
As tangentes à elipse e à hipérbole nos pontos de interseção são perpendiculares, pois o produto de suas inclinações é
.