1. Show that if an ellipse and a hyperbola have the same foci, then their tangent lines at each point of intersection are perpendicular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma elipse e uma hipérbole que têm os mesmos focos são ortogonais, isto é, nas interseções as tangentes são perpendiculares. O conteúdo usado será a forma de distância aos focos e diferenciação implícita para obter as inclinações das retas tangentes.

Passo 2

Colocamos os focos em (pm c,0). Denotemos
R1 = raiz(x+c)^2 + y^2, R2 = raiz(x-c)^2 + y^2
A elipse com semi-eixo maior a satisfaz
R1 + R2 = 2a,
e a hipérbole com parâmetro a' satisfaz
R2 - R1 = 2a'

Passo 3

Diferenciando implicitamente a equação da elipse R1+R2=2a em relação a x, obtemos
x+cR1 + x-cR2 + y'l(yR1 + yR2r) = 0
Isolando y', vem
y'e = -dfracx+cR1 + dfracx-cR2dfracyR1 + dfracyR2 = -tfracx+cR1 + tfracx-cR2yl(tfrac1R1+tfrac1R2r)

Passo 4

Diferenciando agora R2 - R1 = 2a', achamos
x-cR2 - x+cR1 + y'l(yR2 - yR1r) = 0,
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y'h = -dfracx-cR2 - dfracx+cR1dfracyR2 - dfracyR1 = -tfracx-cR2 - tfracx+cR1yl(tfrac1R2-tfrac1R1r)

Passo 5

Para verificar que y'ecdot y'h=-1, note que as frações se reduzem a
y'e = -A/R1 + B/R2y(1/R1+1/R2), y'h = -A/R1 - B/R2y(1/R1-1/R2),
onde A=x+c, B=x-c. O produto dá
y'e,y'h =l(A/R1 + B/R2r)l(A/R1 - B/R2r)y^2l(1/R1+1/R2r)l(1/R1-1/R2r) =A^2/R1^2 - B^2/R2^2y^2l(1/R1^2-1/R2^2r)
Substituindo R1^2=(x+c)^2+y^2 e R2^2=(x-c)^2+y^2 mostra-se que o numerador é -4cxy^2 e o denominador é +4cxy^2, resultando em -1.

Resposta

As tangentes à elipse e à hipérbole nos pontos de interseção são perpendiculares, pois o produto de suas inclinações é -1.

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